Seja f(x, y)=\sqrt[5]{x^{2}+2 y^{3}}.
(a) Mostre que f(x, y) é diferenciável em (4,2).
(b) Determine uma aproximação linear de f(x, y) em (4,2) para calcular um valor aproximado de \sqrt[5]{(3,8)^{2}+2(2,1)^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) Mostrar que a função f(x,y)=\sqrt[5]{x^{2}+2 y^{3}} é diferenciável no ponto (4,2).
(b) Determinar a aproximação linear de f em (4,2) e usá‑la para calcular um valor aproximado de \sqrt[5]{(3,8)^{2}+2(2,1)^{3}}.
Informações dadas que vamos usar:
f(x,y)=\sqrt[5]{x^{2}+2 y^{3}}=(x^{2}+2y^{3})^{1/5},
o ponto onde avaliamos é (4,2) e o valor aproximado pedido é f(3,8,\,2,1), onde estou interpretando (3,8) como 3,8 (ou seja, três vírgula oito) e (2,1) como 2,1.

Passo 2

Calcule o valor de f no ponto (4,2) — esse é o termo constante da reta tangente.
Primeiro calcule a expressão interna:
x^{2}+2y^{3}\quad\text{em}\quad(4,2)\Rightarrow 4^{2}+2\cdot 2^{3}=16+2\cdot 8=16+16=32.
Agora
f(4,2)=32^{1/5}.
Observe que 32=2^{5}, então
32^{1/5}=2.
Portanto f(4,2)=2.

Passo 3

Vamos achar as derivadas parciais de f para montar a aproximação linear. Vou explicar a ideia usada: se uma função é composição de uma função escalar h(t) por uma função vetorial g(x,y), isto é f(x,y)=h(g(x,y)), então a regra da cadeia dá
\frac{\partial f}{\partial x}=h'(g(x,y))\cdot\frac{\partial g}{\partial x},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=h'(g(x,y))\cdot\frac{\partial g}{\partial y}.
No nosso caso escolha
g(x,y)=x^{2}+2y^{3},\qquad h(t)=t^{1/5}.
Calcule g_x e g_y:
\frac{\partial g}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=6y^{2}.
Calcule h'(t). Para h(t)=t^{1/5} vale
h'(t)=\frac{1}{5}t^{-4/5}.

Passo 4

Agora use a regra da cadeia para obter fórmulas fechadas das derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{1}{5}(x^{2}+2y^{3})^{-4/5}\cdot 2x = \frac{2x}{5}\,(x^{2}+2y^{3})^{-4/5},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{1}{5}(x^{2}+2y^{3})^{-4/5}\cdot 6y^{2} = \frac{6y^{2}}{5}\,(x^{2}+2y^{3})^{-4/5}.
Agora avalie em (4,2). Já temos x^{2}+2y^{3}=32. Como 32=2^{5}, tem-se
32^{1/5}=2\quad\Rightarrow\quad 32^{-4/5}=(32^{1/5})^{-4}=2^{-4}=\frac{1}{16}.
Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial x}(4,2) = \frac{2\cdot 4}{5}\cdot\frac{1}{16} = \frac{8}{5}\cdot\frac{1}{16} = \frac{8}{80} = \frac{1}{10}.
\frac{\partial f}{\partial y}(4,2) = \frac{6\cdot 2^{2}}{5}\cdot\frac{1}{16} = \frac{6\cdot 4}{5}\cdot\frac{1}{16} = \frac{24}{5}\cdot\frac{1}{16} = \frac{24}{80} = \frac{3}{10}.

Passo 5

Explicação didática sobre diferenciabilidade: a função g(x,y)=x^{2}+2y^{3} é polinomial (logo C^{\infty}) e h(t)=t^{1/5} é C^{1} numa vizinhança de t=32 porque 32>0 (a derivada h'(t)=\frac{1}{5}t^{-4/5} não tem problema quando t\neq 0). A composição de funções C^{1} é C^{1}, logo f=h\circ g é diferenciável numa vizinhança de (4,2). Alternativamente, como as derivadas parciais foram obtidas e são contínuas perto de (4,2), isso também garante diferenciabilidade em (4,2).
Portanto a resposta ao item (a) é afirmativa: f é diferenciável em (4,2).

Passo 6

A aproximação linear (linearização) de f em (4,2) é a função afim
L(x,y)=f(4,2)+\frac{\partial f}{\partial x}(4,2)\,(x-4)+\frac{\partial f}{\partial y}(4,2)\,(y-2).
Substituindo os valores que calculamos:
L(x,y)=2+\frac{1}{10}(x-4)+\frac{3}{10}(y-2).
Isso significa que para (x,y) próximos de (4,2) temos f(x,y)\approx L(x,y).

Passo 7

Use L para aproximar f(3,8,\,2,1) — ou seja f(3,8)=f(3,8,\,2,1) entendendo os decimais. Calcule os deslocamentos:
\Delta x=3,8-4=-0,2,\qquad \Delta y=2,1-2=0,1.
Aplicando L:
L(3,8,\,2,1)=2+\frac{1}{10}(-0,2)+\frac{3}{10}(0,1).
Calcule passo a passo com frações (para ficar bem claro):
\frac{1}{10}\cdot(-0,2)=-\frac{1}{10}\cdot\frac{2}{10}=-\frac{2}{100}=-\frac{1}{50}=-0,02,
\frac{3}{10}\cdot 0,1=\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{10}=\frac{3}{100}=0,03.
Somando:
L(3,8,\,2,1)=2-0,02+0,03=2+0,01=2,01.
Portanto a aproximação linear dá f(3,8,\,2,1)\approx 2,01.

Resposta

(a) f é diferenciável em (4,2).\n(b) Aproximação linear: L(x,y)=2+\frac{1}{10}(x-4)+\frac{3}{10}(y-2)\nValor aproximado: \sqrt[5]{(3,8)^{2}+2(2,1)^{3}}\approx 2,01.

Exercícios relacionados