Seja
.
(a) Mostre que
é diferenciável em
.
(b) Determine uma aproximação linear de
em
para calcular um valor aproximado de
.
(a) Mostre que
(b) Determine uma aproximação linear de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Mostrar que a função
é diferenciável no ponto
.
(b) Determinar a aproximação linear de
em
e usá‑la para calcular um valor aproximado de
.
Informações dadas que vamos usar:
o ponto onde avaliamos é
e o valor aproximado pedido é
, onde estou interpretando
como
(ou seja, três vírgula oito) e
como
.
Passo 2
Calcule o valor de
no ponto
— esse é o termo constante da reta tangente.
Primeiro calcule a expressão interna:
Agora
Observe que
, então
Portanto
.
Passo 3
Vamos achar as derivadas parciais de
para montar a aproximação linear. Vou explicar a ideia usada: se uma função é composição de uma função escalar
por uma função vetorial
, isto é
, então a regra da cadeia dá
No nosso caso escolha
Calcule
e
:
Calcule
. Para
vale
Passo 4
Agora use a regra da cadeia para obter fórmulas fechadas das derivadas parciais de
:
Agora avalie em
. Já temos
. Como
, tem-se
Substituindo:
Passo 5
Explicação didática sobre diferenciabilidade: a função
é polinomial (logo
) e
é
numa vizinhança de
porque
(a derivada
não tem problema quando
). A composição de funções
é
, logo
é diferenciável numa vizinhança de
. Alternativamente, como as derivadas parciais foram obtidas e são contínuas perto de
, isso também garante diferenciabilidade em
.
Portanto a resposta ao item (a) é afirmativa:
é diferenciável em
.
Passo 6
A aproximação linear (linearização) de
em
é a função afim
Substituindo os valores que calculamos:
Isso significa que para
próximos de
temos
.
Passo 7
Use
para aproximar
— ou seja
entendendo os decimais. Calcule os deslocamentos:
Aplicando
:
Calcule passo a passo com frações (para ficar bem claro):
Somando:
Portanto a aproximação linear dá
.
Resposta
(a)
é diferenciável em
.\n(b) Aproximação linear:
\nValor aproximado:
.