Use os testes apropriados para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem, verificancto culdadosamente as hipóteses e justificando todas as suas afirmações. \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}}{c^{k}}
Passo 1
O enunciado pede para decidir, usando testes apropriados, se a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{2}}{c^{k}}
converge ou diverge, justificando cuidadosa e completamente. As informações que temos são: c é uma constante (presumimos real); a série depende do parâmetro c. Para organizar a análise, vou considerar os casos naturais para o parâmetro c:
c=0,
|c|<1,
|c|=1 (ou seja c=1 ou c=-1),
|c|>1.
No passo seguinte começo a testar cada caso, verificando as hipóteses dos testes que eu usar.
Passo 2
Primeiro lembrete útil (condição necessária para convergência): se a série \sum a_k converge então o termo geral a_k deve tender a zero, isto é,
Vou aplicar essa condição para eliminar rapidamente alguns casos. O termo geral aqui é a_k=\dfrac{k^{2}}{c^{k}}. Note que toda expressão matemática está escrita em TeX para ficar certinho.
Caso c=0: para k\ge 1 temos c^{k}=0, então a_k=\dfrac{k^{2}}{0} é indefinido. Portanto a série não é bem definida quando c=0 (não faz sentido falar em convergência de uma série cujos termos não estão definidos). Conclusão: c=0 é impossível (a série não existe).
Caso |c|<1: então c^{k}\to 0 quando k\to\infty. Assim o denominador tende a zero e, portanto, o módulo do termo geral tende a infinito:
porque o fator exponencial |c|^{k} vai para 0 mais rápido que qualquer polinômio no numerador, mas como está no denominador faz o quociente explodir. Em particular não temos \lim_{k\to\infty} a_k = 0, logo a série diverge para todo |c|<1.
Caso |c|=1: duas subcasos:
c=1: então a_k=\dfrac{k^{2}}{1^{k}}=k^{2}. Os termos não tendem a zero, têm módulo que cresce para infinito; a série diverge.
c=-1: então a_k=\dfrac{k^{2}}{(-1)^{k}} = k^{2}(-1)^{k}. Mesmo que os sinais alternem, o módulo |a_k|=k^{2} não tende a zero, portanto a série não converge (condição necessária falha). Logo para |c|=1 a série diverge.
Até aqui já vimos que para |c|\le 1 (incluindo os casos c=0 e c=\pm 1) a série diverge (ou não está definida no caso c=0).
Passo 3
Agora o caso interessante: |c|>1. Intuição: o denominador c^{k} cresce geometricamente em módulo, enquanto o numerador cresce apenas polinomialmente (k^{2}). Esperamos que a série convirja porque a parte geométrica domina e faz os termos irem a zero suficientemente rápido. Vou usar um teste prático e padrão: o teste da razão (d’Alembert). Vou também mencionar o teste da raiz como alternativa.
Teste da razão (enunciado e hipótese):
Seja \sum a_k uma série de termos complexos. Se o limiteL=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|existe e L<1, então a série converge absolutamente; se L>1 então diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui vou aplicar com a_k=\dfrac{k^{2}}{c^{k}}.
Como estamos no caso |c|>1, temos \dfrac{1}{|c|}<1. Pelo teste da razão concluímos que a série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k^{2}}{c^{k}} converge absolutamente (e, portanto, converge) sempre que |c|>1.
Comentário extra (teste da raiz): se alguém preferir, o teste da raiz dá o mesmo resultado mais diretamente porque
pois \sqrt[k]{k^{2}}\to 1. Então também dá convergência absoluta quando |c|>1.
Passo 4
Resumindo e ligando todas as peças com linguagem direta e sem pular etapas:
Para |c|<1 os termos não tendem a zero (na verdade divergem em módulo), logo a série diverge.
Para |c|=1 (isto é c=1 ou c=-1) os termos não tendem a zero (a_k=k^{2} ou a_k=k^{2}(-1)^{k}), então a série diverge.
Para c=0 os termos são indefinidos e a série não está bem formulada.
Para |c|>1 o teste da razão mostra que\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{1}{|c|}<1,portanto a série converge absolutamente (e logo converge).
Um exemplo numérico rápido para fixar: com c=2 a série é \sum k^{2}/2^{k}, que converge (é uma série geométrica “com polinômio no numerador” típica de convergência absoluta). Com c=\tfrac{1}{2} a série diverge porque os termos tendem ao infinito.
Resposta
A série converge (na verdade converge absolutamente) se, e somente se, |c|>1.
A série diverge para |c|\le 1.
No caso c=0 os termos são indefinidos (a série não está bem formulada).