Seja
Obtenha e classifique os pontos críticos de
.
Passo 1
A função é f(x,y)=x³+y³−18xy, e a gente vai achar onde ∇f=0 (pontos críticos) e depois usar o teste da matriz Hessiana pra ver se é mínimo, máximo ou sela.
Passo 2
Calcula as derivadas parciais e impõe ∇f=0. Temos
Isso dá o sistema
Passo 3
Resolve o sistema. Da primeira equação vem y= x²/6, e da segunda x= y²/6. Substituindo y em x= y²/6 obtemos
Logo x=0 ou x^3=36. Se x=0 então y=0. Se x^3=36 então x=6^{1/3} e y=x2/6=6{2/3}. Assim os pontos críticos reais são (0,0) e (6{1/3},6{2/3}).
Passo 4
Agora classificamos com a Hessiana H=
. No ponto (0,0) temos det H=0·0−(−18)²<0, daí sela. No ponto (6{1/3},6{2/3}) temos f_{xx}=6·6{1/3}=6{4/3}, f_{yy}=6·6{2/3}=6{5/3}, e det H=6{4/3}·6{5/3}−324=6^3−324=216−324<0, também sela.
Resposta
Os pontos críticos são (0,0) e (6{1/3},6{2/3}), e ambos são pontos de sela.