Seja
f(x, y)=x^3+y^3-18 x y
Obtenha e classifique os pontos críticos de f.

Passo 1

A função é f(x,y)=x³+y³−18xy, e a gente vai achar onde ∇f=0 (pontos críticos) e depois usar o teste da matriz Hessiana pra ver se é mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Calcula as derivadas parciais e impõe ∇f=0. Temos
fx=3x^2-18y=0,
fy=3y^2-18x=0
Isso dá o sistema
3x^2-18y=0,
3y^2-18x=0

Passo 3

Resolve o sistema. Da primeira equação vem y= x²/6, e da segunda x= y²/6. Substituindo y em x= y²/6 obtemos
x=(x^2/6)^26=x^436implies x(x^3-36)=0
Logo x=0 ou x^3=36. Se x=0 então y=0. Se x^3=36 então x=6^{1/3} e y=x2/6=6{2/3}. Assim os pontos críticos reais são (0,0) e (6{1/3},6{2/3}).

Passo 4

Agora classificamos com a Hessiana H= 6x & -18-18 & 6y. No ponto (0,0) temos det H=0·0−(−18)²<0, daí sela. No ponto (6{1/3},6{2/3}) temos f_{xx}=6·6{1/3}=6{4/3}, f_{yy}=6·6{2/3}=6{5/3}, e det H=6{4/3}·6{5/3}−324=6^3−324=216−324<0, também sela.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0) e (6{1/3},6{2/3}), e ambos são pontos de sela.

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