Seja f(x, y)=e^{2 x} sen (y). Determine o indicado a seguir.
f_{x x}

Passo 1

O enunciado dá a função
\;f(x,y)=e^{2x}\,\sin(y)
e pede a derivada parcial de segunda ordem em x, ou seja \,f_{xx}. Vamos usar regra da cadeia e propriedades de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada parcial de primeira ordem em x. Como \sin(y) é tratado como constante em relação a x, temos
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{2x}\bigr)\,\sin(y) = 2\,e^{2x}\,\sin(y).

Passo 3

Agora derivamos novamente em x o resultado acima. Em
f_x = 2\,e^{2x}\,\sin(y)
o fator 2\sin(y) é constante quando derivamos em x, e
\frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}. Logo,
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2\,e^{2x}\,\sin(y)\bigr) = 2\,\sin(y)\;\cdot2\,e^{2x} =4\,e^{2x}\,\sin(y).

Resposta

f_{xx}(x,y)=4\,e^{2x}\,\sin(y).

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