Seja f(x, y)=e^{2 x} sen (y). Determine o indicado a seguir.
f_{y y}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^{2x}\sin(y)
e pede a derivada parcial de segunda ordem em y, isto é f_{yy}. Vamos usar as regras de derivação de funções compostas e a derivada de \sin(y).

Passo 2

Primeiro calculamos
f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{2x}\sin(y)\bigr).
Como e^{2x} é constante em relação a y, vem
f_{y}=e^{2x}\cos(y).

Passo 3

Agora derivamos f_{y} novamente em relação a y:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{2x}\cos(y)\bigr) =e^{2x}\,\frac{d}{dy}\bigl(\cos(y)\bigr) =e^{2x}\,(-\sin(y)) =-e^{2x}\sin(y).

Resposta

f_{yy}(x,y)=-e^{2x}\sin(y).

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