Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem.
f(x, y)=\left\{\begin{array}{rll}\frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se } & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y\,(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para verificar se f é diferenciável em (0,0). Para isso, usamos a definição: f é diferenciável em (0,0) se existem as derivadas parciais \partial f/\partial x(0,0) e \partial f/\partial y(0,0) e
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0) -\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\,x -\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\,y} {\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (0,0).
Para \partial f/\partial x(0,0) temos
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Analogamente
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.

Passo 3

O candidato a diferencial linear é L(x,y)=0. Resta mostrar
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)-0}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Note que, para (x,y)\neq(0,0),
|f(x,y)|=\left|\frac{x\,y\,(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}\right| \le\frac{|x\,y|\,|x^{2}-y^{2}|}{x^{2}+y^{2}} \le|x\,y|.

Passo 4

Usamos a desigualdade clássica
|x\,y|\le\frac{x^{2}+y^{2}}{2}
para obter
\bigl|f(x,y)\bigr|\le\frac{x^{2}+y^{2}}{2}.
Logo, com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
\frac{|f(x,y)|}{r}\le\frac{r^{2}/2}{r}=\frac{r}{2}\,\xrightarrow[(x,y)\to(0,0)]{}\,0.
Isso mostra que o resto é o\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr).

Resposta

A função f é diferenciável em (0,0).

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