(3,0) Sejam f(x, y)=y+x^2-1x^2-y-1, D o dominio de f in P=(2,2,5),
Calcule seu plano tangente em P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e um ponto no domínio dessa função. Nosso objetivo é calcular o plano tangente à superfície representada por essa função no ponto .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada parcial e a equação do plano tangente. Não se preocupa se esses termos parecem complicados agora; vou explicar cada passo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o plano tangente. Imagine que você tem uma superfície tridimensional, como uma montanha. O plano tangente é como uma folha bem fininha que toca a montanha exatamente em um ponto, sem cortar a montanha. Ele aproxima a forma da montanha perto desse ponto.
Matematicamente, o plano tangente à superfície z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0) no ponto tem a equação:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos:
  • (já que )
Precisamos calcular as derivadas parciais e no ponto .

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de fx = (Nx cdot D) - (N cdot Dx)D^2 em relação a Nx = partialpartial x(y + x^2 - 1) = 2x , ou seja, Dx = partialpartial x(x^2 - y - 1) = 2x .
A função fx = (2x)(x^2 - y - 1) - (y + x^2 - 1)(2x)(x^2 - y - 1)^2 é uma razão, então teremos que usar a regra da derivada para quocientes. A fórmula é:
fx = 2x(x^2 - y - 1) - 2x(y + x^2 - 1)(x^2 - y - 1)^2 = 0
Onde:
  • é a derivada de em relação a
  • é a derivada de em relação a
Vamos calcular cada parte:
Agora, substituindo na fórmula de :
Simplificando:
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de fy = (Ny cdot D) - (N cdot Dy)D^2 em relação a Ny = partialpartial y(y + x^2 - 1) = 1 , ou seja, Dy = partialpartial y(x^2 - y - 1) = -1 .
Usamos a mesma regra da derivada para quocientes:
fy = (1)(x^2 - y - 1) - (y + x^2 - 1)(-1)(x^2 - y - 1)^2 = x^2 - y - 1 + y + x^2 - 1(x^2 - y - 1)^2 = 2x^2 - 2(x^2 - y - 1)^2
Onde:
  • fy(2, 2) = 2(2)^2 - 2(2^2 - 2 - 1)^2 = 8 - 2(4 - 2 - 1)^2 = 61^2 = 6
  • é a derivada de em relação a
  • é a derivada de em relação a
Calculando cada parte:
Substituindo na fórmula de :
Agora, substituindo e :

Passo 6

Com as derivadas parciais calculadas, agora podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula que mencionamos no Passo 2:
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores que já temos:
z = 5 + 0 cdot (x - 2) + 6 cdot (y - 2)
Simplificando:
z = 5 + 6(y - 2)
z = 5 + 6y - 12
z = 6y - 7

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto z = 6y - 7 é dado por:

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