(3,0) Sejam
o dominio de
,
Calcule seu plano tangente em
.
Calcule seu plano tangente em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e um ponto
no domínio dessa função. Nosso objetivo é calcular o plano tangente à superfície representada por essa função no ponto
.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada parcial e a equação do plano tangente. Não se preocupa se esses termos parecem complicados agora; vou explicar cada passo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o plano tangente. Imagine que você tem uma superfície tridimensional, como uma montanha. O plano tangente é como uma folha bem fininha que toca a montanha exatamente em um ponto, sem cortar a montanha. Ele aproxima a forma da montanha perto desse ponto.
Matematicamente, o plano tangente à superfície
no ponto
tem a equação:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que temos:
-
-
-
(já que )
Precisamos calcular as derivadas parciais
e
no ponto
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é uma razão, então teremos que usar a regra da derivada para quocientes. A fórmula é:
Onde:
-
-
-
é a derivada de em relação a -
é a derivada de em relação a
Vamos calcular cada parte:
Agora, substituindo na fórmula de
:
Simplificando:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usamos a mesma regra da derivada para quocientes:
Onde:
-
-
-
é a derivada de em relação a -
é a derivada de em relação a
Calculando cada parte:
Substituindo na fórmula de
:
Agora, substituindo
e
:
Passo 6
Com as derivadas parciais calculadas, agora podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula que mencionamos no Passo 2:
Substituindo os valores que já temos:
Simplificando:
Resposta
O plano tangente à superfície no ponto
é dado por: