Seja f(x, y, z)=1 / raizx^2+y^2+z^2-1.
(a) Calcule f(1,3,-4).
(b) Determine o domínio de f.
(c) Determine a imagem de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=1raizx^2 + y^2 + z^2 - 1
e pede
(a) o valor de f(1,3,-4);
(b) o domínio de f;
(c) a imagem de f.
Conteúdo: domínio e imagem de funções de várias variáveis.

Passo 2

Para calcular f(1,3,-4) avaliamos o radicando:
1^2 + 3^2 + (-4)^2 - 1 = 1 + 9 + 16 - 1 = 25
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f(1,3,-4) = 1raiz25 = 15

Passo 3

Para determinar o domínio precisamos que o argumento da raiz seja positivo, ou seja,
x^2 + y^2 + z^2 - 1 > 0
o que equivale a
x^2 + y^2 + z^2 > 1
Assim o domínio é
(x,y,z)inR^3 mid x^2 + y^2 + z^2 > 1

Passo 4

Para achar a imagem, note que se definirmos r^2 = x^2 + y^2 + z^2 com r^2>1, então
f = 1raizr^2 - 1
Quando r^2 to 1^+ temos raizr^2 -1to0^+ e fto+infty. Quando r^2to+infty temos raizr^2 -1to+infty e fto0^+. Portanto f assume todos os valores em (0,infty).

Resposta

(a) tfrac15
(b) (x,y,z)inR^3 mid x^2+y^2+z^2>1
(c) (0,infty)

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