Seja f(x, y, z)=x^2 ln (x-y+z).
(a) Calcule f(3,6,4).
(b) Determine o domínio de f.
(c) Determine a imagem de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=x^2,lnl(x - y + zr)
e pede:
(a) o valor de f(3,6,4),
(b) o domínio de f,
(c) a imagem de f.
Para isso vamos usar que o logaritmo natural exige argumento positivo e depois estudar a expressão x^2ln t para t>0.

Passo 2

Para calcular f(3,6,4) primeiro achamos o argumento do logaritmo:
3 - 6 + 4 = 1
Como ln(1)=0, temos
f(3,6,4)=3^2cdot 0 = 9cdot 0 = 0

Passo 3

O domínio de f é o conjunto de todos (x,y,z)inR^3 tais que o argumento de ln seja estritamente positivo, ou seja,
x - y + z > 0

Passo 4

Para achar a imagem, note que podemos escrever
t = x - y + z>0, s = x^2>= 0,
de modo que
f(x,y,z)=s,ln(t)
Para qualquer s>0, conforme tto0^+ temos ln(t)to -infty e conforme tto+infty temos ln(t)to+infty, o que leva sln(t) a percorrer todo R. Além disso, se s=0 (isto é, x=0), f=0. Logo a imagem de f é todo R.

Resposta

(a) 0
(b) (x,y,z)inR^3mid x - y + z > 0
(c) R

Exercícios relacionados