Use o teste da razão para examinar a convergência da série
sumn=1^+infty (1+i)^2 n(n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste da razão para verificar se a série sumn=1^+infty (1+i)^2n(n+1)! converge. O conteúdo principal aqui é a análise de séries infinitas e, especificamente, o teste da razão que ajuda a determinar a convergência de uma série pelo comportamento do limite das razões entre termos consecutivos. Para isso, vamos precisar calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é an = (1+i)^2n(n+1)!. No teste da razão, a gente calcula o limite de |an+1an| quando n tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular an+1an:
an+1an = (1+i)^2(n+1)(n+2)!(1+i)^2n(n+1)! = (1+i)^2n + 2(n+2)! cdot (n+1)!(1+i)^2n = (1+i)^2n+2

Passo 4

Agora, precisamos calcular o módulo desse valor, já que estamos lidando com números complexos. Sabemos que |1+i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2. Então,
|(1+i)^2| = |1+i|^2 = (raiz2)^2 = 2
Portanto,
|an+1an| = 2n+2

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite desse valor conforme n vai para o infinito:
limn to infty 2n+2 = 0

Passo 6

No teste da razão, se esse limite L for menor que 1, a série converge absolutamente. Se for maior que 1, a série diverge, e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Aqui, L = 0 < 1, então a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^+infty (1+i)^2n(n+1)! converge absolutamente pelo teste da razão.

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