Use o teste da razão para examinar a convergência da série
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste da razão para verificar se a série converge. O conteúdo principal aqui é a análise de séries infinitas e, especificamente, o teste da razão que ajuda a determinar a convergência de uma série pelo comportamento do limite das razões entre termos consecutivos. Para isso, vamos precisar calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . No teste da razão, a gente calcula o limite de quando n tende ao infinito.
Agora, precisamos calcular o módulo desse valor, já que estamos lidando com números complexos. Sabemos que |1+i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2. Então,
|(1+i)^2| = |1+i|^2 = (raiz2)^2 = 2
Portanto,
|an+1an| = 2n+2
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite desse valor conforme n vai para o infinito:
limn to infty 2n+2 = 0
Passo 6
No teste da razão, se esse limite L for menor que 1, a série converge absolutamente. Se for maior que 1, a série diverge, e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Aqui, L = 0 < 1, então a série converge absolutamente.
Resposta
A série sumn=1^+infty (1+i)^2n(n+1)!converge absolutamente pelo teste da razão.