Seja F1=F2=1 e Fn=Fn-1+Fn-2, n >= 3, a sequência de Fibonacci. Mostre que F3 n é par.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem a sequência de Fibonacci definida por
Fn=Fn-1+Fn-2 e, para ,
O que a questão pede é mostrar que, para todo inteiro , o termo é um número par.
Conteúdo usado: definição de número par e prova por indução matemática.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos lembrar que um inteiro x = 2m é par se existe um inteiro F3cdot1=F3 = F2+F1 = 1+1 = 2 tal que
Para começar a indução, fazemos o caso base :
Como , concluímos que é par.

Passo 3

Agora, assumimos como hipótese de indução que para algum F3k é par, ou seja, F3k=2m para algum inteiro m vale
é

Passo 4

Vamos mostrar que isso implica que F3(k+1) = F3k+3 também é par. Calculamos:
F3k+3 = F(3k+2) + F(3k+1),
Usando a definição de Fibonacci duas vezes:
F3k+2 = F(3k+1) + F3k
e
F3k+3 = l(F3k+1 + F3kr) + F3k+1 = 2,F3k+1 + F3k
Substituindo a segunda na primeira,
F3k+3 = 2,F3k+1 + 2m = 2l(F3k+1+mr),
Pela hipótese de indução temos . Então
que é claramente da forma . Logo é par.

Resposta

Portanto, por indução, é par para todo inteiro .

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