Seja
e
, a sequência de Fibonacci. Mostre que
é par.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem a sequência de Fibonacci definida por
e, para
,
O que a questão pede é mostrar que, para todo inteiro
, o termo
é um número par.
Conteúdo usado: definição de número par e prova por indução matemática.
Conteúdo usado: definição de número par e prova por indução matemática.
Passo 2
Antes de mais nada, vamos lembrar que um inteiro
é par se existe um inteiro
tal que
Para começar a indução, fazemos o caso base
:
Como
, concluímos que
é par.
Passo 3
Agora, assumimos como hipótese de indução que para algum
vale
Passo 4
Vamos mostrar que isso implica que
também é par. Calculamos:
Usando a definição de Fibonacci duas vezes:
e
Substituindo a segunda na primeira,
Pela hipótese de indução temos
. Então
que é claramente da forma
. Logo
é par.
Resposta
Portanto, por indução,
é par para todo inteiro
.