A sequência (an) é definida por a1=0, a2=1, an+2=3 an+1-2 an. Encontre uma fórmula explícita para o n-ésimo termo dessa sequência.

Passo 1

Beleza! A gente tem a sequência definida por
an+2 = 3,an+1 - 2,an e a regra de recorrência
Isso é um caso clássico de recorrência linear homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes.
O que precisamos fazer é:
  1. Montar a equação característica;
  2. Encontrar as raízes;
  3. Escrever a solução geral;
  4. Ajustar essa solução usando e .

Passo 2

Escrevendo a equação característica, a gente troca an+2 - 3,an+1 + 2,an = 0 por r^2 - 3r + 2 = 0.
Para
a equação característica é

Passo 3

Agora resolvemos
r^2 - 3r + 2 = 0
Isso é um trinômio simples. Vou fatorar:
r^2 - 3r + 2 = (r-1)(r-2) = 0
Logo as raízes são
r1 = 1, r2 = 2

Passo 4

Como são duas raízes distintas, a solução geral da recorrência é
an = Acdot 1^n + Bcdot 2^n = A + B,2^n,
onde e são constantes a determinar.

Passo 5

Usamos as condições iniciais:
Para a1 = A + Bcdot 2^1 = A + 2B = 0
a2 = A + Bcdot 2^2 = A + 4B = 1
Para

Passo 6

Temos o sistema
A + 2B = 0, A + 4B = 1
Subtraindo a primeira da segunda:
(A+4B)-(A+2B)=1-0;Longrightarrow;2B=1;Longrightarrow;B=tfrac12
E aí

Resposta

A fórmula explícita para o boxedan = -1 + tfrac12;2^n = 2^,n-1 - 1 -ésimo termo é

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