A sequência
é definida por
. Encontre uma fórmula explícita para o
-ésimo termo dessa sequência.
Passo 1
Beleza! A gente tem a sequência definida por
e a regra de recorrência
Isso é um caso clássico de recorrência linear homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes.
O que precisamos fazer é:
O que precisamos fazer é:
- Montar a equação característica;
- Encontrar as raízes;
- Escrever a solução geral;
- Ajustar essa solução usando
e .
Passo 2
Escrevendo a equação característica, a gente troca
por
.
Para
Para
a equação característica é
Passo 3
Agora resolvemos
Isso é um trinômio simples. Vou fatorar:
Logo as raízes são
Passo 4
Como são duas raízes distintas, a solução geral da recorrência é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 5
Usamos as condições iniciais:
Para
Para
Para
Passo 6
Temos o sistema
Subtraindo a primeira da segunda:
E aí
Resposta
A fórmula explícita para o
-ésimo termo é