Seja e , a sequência de Fibonacci. Mostre que é múltiplo de 5 .
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que, na sequência de Fibonacci definida por
o termo é sempre múltiplo de 5.
Conteúdo: sequências numéricas e prova por indução.
O que vamos precisar:
A definição e uma identidade de soma de índices em Fibonacci,
O princípio da indução matemática.
Passo 2
Teoria principal: existe a identidade
que basicamente junta dois termos da sequência num só. Vamos usar essa fórmula para relacionar com e . Também aplicaremos o esquema de indução: provar o caso base e depois o passo indutivo.
Passo 3
Base da indução ():
Como a sequência é
temos , que é múltiplo de 5. Então a propriedade vale para .
Passo 4
Passo indutivo: suponha que, para certo , é múltiplo de 5, ou seja, . Vamos mostrar que .
Usando a identidade com e ,
Sabemos que e . Então
— O primeiro termo é múltiplo de 5 porque já era, por hipótese.
— O segundo termo é claramente múltiplo de 5.
Somando dois múltiplos de 5 dá outro múltiplo de 5, logo
Isso fecha o passo indutivo.
Resposta
Portanto, por indução, para todo inteiro , o termo da sequência de Fibonacci é múltiplo de 5.