Seja F1=F2=1 e Fn=Fn-1+Fn-2, n >= 3, a sequência de Fibonacci. Mostre que F5 n é múltiplo de 5 .

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que, na sequência de Fibonacci definida por
F1=F2=1, Fn=Fn-1+Fn-2 (n>=3),
o termo é sempre múltiplo de 5.
Conteúdo: sequências numéricas e prova por indução.
O que vamos precisar:
  1. A definição e uma identidade de soma de índices em Fibonacci,
  2. O princípio da indução matemática.

Passo 2

Teoria principal: existe a identidade
Fm+n ;=; Fm,Fn+1;+;Fm-1,Fn,
que basicamente junta dois termos da sequência num só. Vamos usar essa fórmula para relacionar com e . Também aplicaremos o esquema de indução: provar o caso base e depois o passo indutivo.

Passo 3

Base da indução ( F5cdot1=F5 ):
F1=1,;F2=1,;F3=2,;F4=3,;F5=5,
Como a sequência é
temos , que é múltiplo de 5. Então a propriedade vale para .

Passo 4

Passo indutivo: suponha que, para certo F5k+5 =F5k,F6 ;+;F5k-1,F5 , F5(k+1) =F5k+5 =F5kcdot 8 ;+; F5k-1cdot 5 é múltiplo de 5, ou seja, 5;m|;F5(k+1) . Vamos mostrar que .
Usando a identidade com e ,
Sabemos que e . Então
— O primeiro termo é múltiplo de 5 porque já era, por hipótese.
— O segundo termo é claramente múltiplo de 5.
Somando dois múltiplos de 5 dá outro múltiplo de 5, logo
Isso fecha o passo indutivo.

Resposta

Portanto, por indução, para todo inteiro , o termo da sequência de Fibonacci é múltiplo de 5.

Exercícios relacionados