Seja k in R fixo. Considere a função f(x, y, z)=x^2+2 y^2+z^2 sujeita à restrição x+y+z=k.
Mostre que f sujeita à essa restrição não possui máximo absoluto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2, sujeita à restrição x+y+z=k, não tem valor máximo absoluto. O conteúdo envolvido é otimização com restrição (extremos condicionados) e vamos usar a ideia de parametrizar a restrição para reduzir a um problema em duas variáveis e analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a restrição em função de x e y. Da equação x+y+z=k vem
z = k - x - y
Substituindo em f definimos
g(x,y) = x^2 + 2y^2 + (k - x - y)^2
Agora temos uma função g: R^2to R sem restrições.

Passo 3

Para ver que não há máximo, basta notar que g(x,y) é uma forma quadrática positiva (coeficientes principais positivos) e cresce sem limite quando |(x,y)|toinfty. Por exemplo, ao longo da reta y=0 temos
g(x,0)=x^2+(k-x)^2=2x^2-2kx+k^2,
que tende a +infty quando xtopminfty. Isso mostra que não existe teto superior para os valores de g, logo f também não tem máximo.

Passo 4

Como f é equivalente a g sob a restrição e g cresce indefinidamente em R^2, concluímos que f não possui máximo absoluto.
O argumento chave é que o domínio induzido pela reta x+y+z=k é não limitado e a função cresce quadraticamente, portanto não admite valor máximo.

Resposta

A função f(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2 sujeita a x+y+z=k não possui máximo absoluto, pois ao parametrizar pela reta de restrição ela se torna uma forma quadrática que cresce sem limite em qualquer direção não limitada, tendendo a +infty.

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