Seja
fixo. Considere a função
sujeita à restrição
.
Mostre que
sujeita à essa restrição não possui máximo absoluto.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
, sujeita à restrição
, não tem valor máximo absoluto. O conteúdo envolvido é otimização com restrição (extremos condicionados) e vamos usar a ideia de parametrizar a restrição para reduzir a um problema em duas variáveis e analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a restrição em função de
e
. Da equação
vem
Substituindo em
definimos
Agora temos uma função
sem restrições.
Passo 3
Para ver que não há máximo, basta notar que
é uma forma quadrática positiva (coeficientes principais positivos) e cresce sem limite quando
. Por exemplo, ao longo da reta
temos
que tende a
quando
. Isso mostra que não existe teto superior para os valores de
, logo
também não tem máximo.
Passo 4
Como
é equivalente a
sob a restrição e
cresce indefinidamente em
, concluímos que
não possui máximo absoluto.
O argumento chave é que o domínio induzido pela reta é não limitado e a função cresce quadraticamente, portanto não admite valor máximo.
O argumento chave é que o domínio induzido pela reta
Resposta
A função
sujeita a
não possui máximo absoluto, pois ao parametrizar pela reta de restrição ela se torna uma forma quadrática que cresce sem limite em qualquer direção não limitada, tendendo a
.