Seja
fixo. Considere a função
sujeita à restrição
.
Mostre que
, onde
é o multiplicador de Lagrange deste problema.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao minimizar
com a restrição
, a derivada do valor ótimo
em relação a
é igual ao multiplicador de Lagrange
. Vamos usar multiplicadores de Lagrange e a ideia do teorema do envelope para isso.
Passo 2
Definimos
Montamos o Lagrangiano associando o parâmetro
à restrição
:
Passo 3
Impondo as condições de ótimo (primeiras derivadas nulas) obtemos:
Da soma das três primeiras soluções na restrição:
\Rightarrow\ \lambda=\frac{4k}{5}.
$$
Passo 4
Substituímos
em
para achar
:
Substituindo
:
Passo 5
Diferenciando
em relação a
obtemos:
Mas vimos que
, logo