Seja k in R fixo. Considere a função f(x, y, z)=x^2+2 y^2+z^2 sujeita à restrição x+y+z=k.
Mostre que d hd k=lambda, onde lambda é o multiplicador de Lagrange deste problema.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao minimizar f(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2 com a restrição x+y+z=k, a derivada do valor ótimo h(k) em relação a k é igual ao multiplicador de Lagrange lambda. Vamos usar multiplicadores de Lagrange e a ideia do teorema do envelope para isso.

Passo 2

Definimos h(k)=minf(x,y,z):x+y+z=k Montamos o Lagrangiano associando o parâmetro k à restrição g(x,y,z)=x+y+z-k=0:
L(x,y,z,lambda)=x^2+2y^2+z^2-lambda,(x+y+z-k)

Passo 3

Impondo as condições de ótimo (primeiras derivadas nulas) obtemos:
partialLpartial x=2x-lambda=0 Rightarrow x=lambda2,
partialLpartial y=4y-lambda=0 Rightarrow y=lambda4,
partialLpartial z=2z-lambda=0 Rightarrow z=lambda2,
partialLpartial lambda=-(x+y+z-k)=0 Rightarrow x+y+z=k
Da soma das três primeiras soluções na restrição:
lambda2+lambda4+lambda2=5lambda4=k $$
\Rightarrow\ \lambda=\frac{4k}{5}.
$$

Passo 4

Substituímos x^*,y^*,z^* em f para achar h(k):
h(k)&=(lambda2)^2+2(lambda4)^2+(lambda2)^2 &=lambda^24+2cdotlambda^216+lambda^24 =5lambda^28
Substituindo lambda=4k/5:
lambda^2=16k^225, h(k)=58cdot16k^225=2k^25

Passo 5

Diferenciando h(k)=2k^2/5 em relação a k obtemos:
dh dk=4k5
Mas vimos que lambda=4k/5, logo
dh dk=lambda

Resposta

dh dk=lambda.

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