Use o Teorema do Confronto para encontrar
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar:
Vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche). Esse teorema é útil para calcular limites quando conseguimos “confrontar” a expressão que queremos com duas outras que são mais fáceis de lidar. Para isso, precisamos identificar as funções que limitam a nossa expressão de baixo e de cima.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte que envolve o seno:
. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar todos os termos dessa desigualdade por 1 (que não altera nada):
Isso nos mostra que o
está sempre limitado entre -1 e 1, independentemente do valor de
.
Passo 4
Vamos agora subtrair
de
:
Isso acontece porque, como
pode ser no máximo 1 e no mínimo -1, subtraí-lo de
resulta nesses limites.
Passo 5
Vamos dividir todos os termos da desigualdade por
(como
tende ao infinito, e assumimos que
):
Simplificando cada termo:
Passo 6
Vamos agora calcular o limite das extremidades quando
tende a infinito:
Passo 7
Pelo Teorema do Confronto, se a nossa expressão está “sanduichada” entre duas expressões que têm o mesmo limite, então o limite da expressão do meio também é esse mesmo valor. Assim:
Resposta
O limite é igual a 2.