Use o Teorema do Confronto para encontrar lim n infty 2 n-sen(n)n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar:
limn infty 2n - sin(n)n
Vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche). Esse teorema é útil para calcular limites quando conseguimos “confrontar” a expressão que queremos com duas outras que são mais fáceis de lidar. Para isso, precisamos identificar as funções que limitam a nossa expressão de baixo e de cima.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte que envolve o seno: sin(n). Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= sin(n) <= 1

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os termos dessa desigualdade por 1 (que não altera nada):
-1 <= sin(n) <= 1
Isso nos mostra que o sin(n) está sempre limitado entre -1 e 1, independentemente do valor de n.

Passo 4

Vamos agora subtrair sin(n) de 2n:
2n - 1 <= 2n - sin(n) <= 2n + 1
Isso acontece porque, como sin(n) pode ser no máximo 1 e no mínimo -1, subtraí-lo de 2n resulta nesses limites.

Passo 5

Vamos dividir todos os termos da desigualdade por n (como n tende ao infinito, e assumimos que n > 0):
2n - 1n <= 2n - sin(n)n <= 2n + 1n
Simplificando cada termo:
2 - 1n <= 2n - sin(n)n <= 2 + 1n

Passo 6

Vamos agora calcular o limite das extremidades quando n tende a infinito:
limn infty (2 - 1n) = 2 - 0 = 2
limn infty (2 + 1n) = 2 + 0 = 2

Passo 7

Pelo Teorema do Confronto, se a nossa expressão está “sanduichada” entre duas expressões que têm o mesmo limite, então o limite da expressão do meio também é esse mesmo valor. Assim:
limn infty 2n - sin(n)n = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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