1. Seja z=f\left(\frac{x^{2}}{y}\right) com f derivável, verifique que: x \frac{\partial z}{\partial x}+2 y \frac{\partial z}{\partial y}=0.

Passo 1

O enunciado dá que z=f\!\left(\dfrac{x^{2}}{y}\right) com f derivável (função de uma variável). A pergunta é verificar a igualdade
x\,\frac{\partial z}{\partial x}+2y\,\frac{\partial z}{\partial y}=0.
Informações relevantes:
  • z é dada como composição de f com a função de duas variáveis (x,y)\mapsto \dfrac{x^{2}}{y}.
  • A expressão faz sentido apenas onde y\neq 0 (pois aparece divisão por y).
  • É preciso calcular derivadas parciais de z em relação a x e y e mostrar que a combinação pedida é zero.

Passo 2

Para simplificar a notação, defino a função intermediária
u(x,y)=\frac{x^{2}}{y}.
Assim podemos escrever
z(x,y)=f\big(u(x,y)\big).
Agora vou usar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia (no caso de uma função composta de uma função de uma variável com uma função de duas variáveis) diz: se z=f(u(x,y)) então
\frac{\partial z}{\partial x}=f'\big(u(x,y)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=f'\big(u(x,y)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial y},
onde f' é a derivada usual de f (função de uma variável), avaliada em u(x,y).

Passo 3

Calculo \dfrac{\partial u}{\partial x}. Como u(x,y)=\dfrac{x^{2}}{y}=\dfrac{1}{y}x^{2} e, ao derivar em relação a x, tratamos y como constante, aplicamos a regra de potência:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{y}\cdot 2x=\frac{2x}{y}.

Passo 4

Calculo \dfrac{\partial u}{\partial y}. Aqui x é tratado como constante e usamos que \dfrac{d}{dy}\!\left(\dfrac{1}{y}\right)=-\dfrac{1}{y^{2}}:
\frac{\partial u}{\partial y}=x^{2}\cdot\frac{d}{dy}\!\left(\frac{1}{y}\right)=x^{2}\left(-\frac{1}{y^{2}}\right)=-\frac{x^{2}}{y^{2}}.

Passo 5

Uso a regra da cadeia com os resultados dos passos anteriores para obter \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x}=f'\big(u(x,y)\big)\cdot\frac{2x}{y}.

Passo 6

De forma análoga testo \dfrac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y}=f'\big(u(x,y)\big)\cdot\left(-\frac{x^{2}}{y^{2}}\right).

Passo 7

Agora componho a expressão pedida substituindo as derivadas parciais encontradas:
x\,\frac{\partial z}{\partial x}+2y\,\frac{\partial z}{\partial y} = x\cdot f'\big(u(x,y)\big)\cdot\frac{2x}{y} +2y\cdot f'\big(u(x,y)\big)\cdot\left(-\frac{x^{2}}{y^{2}}\right).
Fatorando f'\big(u(x,y)\big) e simplificando termos:
= f'\big(u(x,y)\big)\left(\frac{2x^{2}}{y}-\frac{2x^{2}}{y}\right) = f'\big(u(x,y)\big)\cdot 0 = 0.
Portanto a combinação é identicamente zero (para y\neq 0, onde tudo está definido).

Resposta

x\,\dfrac{\partial z}{\partial x}+2y\,\dfrac{\partial z}{\partial y}=0

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