- Seja
com
derivável, verifique que:
.
Passo 1
O enunciado dá que
com
derivável (função de uma variável). A pergunta é verificar a igualdade
Informações relevantes:
-
é dada como composição de com a função de duas variáveis . - A expressão faz sentido apenas onde
(pois aparece divisão por ). - É preciso calcular derivadas parciais de
em relação a e e mostrar que a combinação pedida é zero.
Passo 2
Para simplificar a notação, defino a função intermediária
Assim podemos escrever
Agora vou usar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia (no caso de uma função composta de uma função de uma variável com uma função de duas variáveis) diz: se
então
onde
é a derivada usual de
(função de uma variável), avaliada em
.
Passo 3
Calculo
. Como
e, ao derivar em relação a
, tratamos
como constante, aplicamos a regra de potência:
Passo 4
Calculo
. Aqui
é tratado como constante e usamos que
:
Passo 5
Uso a regra da cadeia com os resultados dos passos anteriores para obter
:
Passo 6
De forma análoga testo
:
Passo 7
Agora componho a expressão pedida substituindo as derivadas parciais encontradas:
Fatorando
e simplificando termos:
Portanto a combinação é identicamente zero (para
, onde tudo está definido).