Seja f uma função de classe C^n, n=1,2,3, cdots. Então vale
Lt^n f(t)=(-1)^n d^nd s^n F(s),
em que F(s)=Lf(t). Aplique esse resultado e calcule:
Lt e^3 t.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular Lt e^3t usando a propriedade de derivação em s, isto é
Lt^n f(t) = (-1)^n d^nds^nF(s),
onde F(s)=Lf(t). O conteúdo é transformada de Laplace e a regra de derivação.

Passo 2

Identificamos n=1 e f(t)=e^3t. Sabemos que a transformada de Laplace de e^3t é
F(s)=1s-3
para Re(s)>3.

Passo 3

Aplicando a propriedade para n=1:
Lt e^3t = (-1),ddsF(s) = -ddsl(1s-3r)

Passo 4

Calculamos a derivada:
ddsl(1s-3r) = dds(s-3)^-1 = -1,(s-3)^-2
Multiplicando por -1 resulta
Lt e^3t = 1(s-3)^2

Resposta

Lt e^3t = 1(s-3)^2, Re(s)>3

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