Seja
uma função contínua no intervalo
. Utilize o método da Posição Falsa para achar um raiz existente no intervalo I com
. Essa intervalo contém apenas uma raiz?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo tirado do enunciado).
- Função:
. - Intervalo:
. - Informação fornecida:
(ou seja, há mudança de sinal em ). - Tolerância pedida:
.
O enunciado pede duas coisas:
- Usar o método da Posição Falsa (regula falsi) para achar uma raiz existente em
com precisão . - Dizer se esse intervalo contém apenas uma raiz.
Passo 2
Primeiro verifico os valores nas extremidades (isto confirma a mudança de sinal explicitada).
Calcular e
:
Calcular
Como
e
, existe pelo menos uma raiz em
(teorema do valor intermediário). Agora aplicamos a Posição Falsa para encontrá-la.
Passo 3
Explico o método da Posição Falsa (regula falsi) de forma bem prática.
- Dados um intervalo
com , a aproximação pela Posição Falsa é a interseção da secante que liga a com o eixo . A fórmula é:
Aqui:
-
e são as extremidades atuais do intervalo; -
e são os valores da função nessas extremidades; -
é a nova aproximação da raiz.
Após calcularavalia-se . Se então a raiz está em e atualiza-se ; se então a raiz está em e atualiza-se .
Critério de parada que vou usar (pedido): paro quando a mudança entre duas aproximações consecutivas for menor que, isto é quando . Aqui .
Passo 4
Começo com
,
,
,
.
Aplicando a fórmula:
Aplicando a fórmula:
Calculo
exatamente em fração para ver o sinal:
Como
e
, a raiz está em
. Atualizo:
Passo 5
Com
,
,
,
, uso a fórmula:
Avalio
aproximadamente (suficiente para decidir o sinal):
Faço aproximado:
(cálculo aproximado) e
. Então
Faço
(Nota: uma avaliação mais cuidadosa dá
; o importante é que
.) Como
e
, a raiz está em
. Atualizo:
Passo 6
Com
,
,
,
:
Avalio
aproximadamente:
logo
Temos
, então a raiz está em
. Atualizo:
Verifico o critério:
, então continuo.
Passo 7
Com
,
,
,
:
Avalio
aproximadamente:
logo
Agora verifico o critério de parada entre as duas últimas aproximações:
Portanto alcançamos a precisão exigida e podemos parar.
Passo 8
Interpretação do resultado e resposta à pergunta sobre unicidade da raiz.
- A aproximação final pela Posição Falsa com critério
é (arredondamento às milésimas). - Para saber se há apenas uma raiz em
uso a monotonicidade: a derivada é
Para todo
temos
, logo
e
Como
em
,
é estritamente crescente nesse intervalo. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz no intervalo. Como já sabemos que existe pelo menos uma (mudança de sinal), concluímos que existe exatamente uma raiz em
.
Resposta
Sim. O intervalo
contém exatamente uma raiz.