Seja f(x)=x^{3}-6 x-1 uma função contínua no intervalo \mathrm{I}=[2,3] \operatorname{com} \mathrm{f}(2) \cdot \mathrm{f}(3) <0. Utilize o método da Posição Falsa para achar um raiz existente no intervalo I com \epsilon=0.01. Essa intervalo contém apenas uma raiz?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo tirado do enunciado).
  • Função: f(x)=x^{3}-6x-1.
  • Intervalo: \mathrm{I}=[2,3].
  • Informação fornecida: f(2)\cdot f(3)<0 (ou seja, há mudança de sinal em [2,3]).
  • Tolerância pedida: \epsilon=0{,}01.
    O enunciado pede duas coisas:
  1. Usar o método da Posição Falsa (regula falsi) para achar uma raiz existente em [2,3] com precisão \epsilon=0{,}01.
  2. Dizer se esse intervalo contém apenas uma raiz.

Passo 2

Primeiro verifico os valores nas extremidades (isto confirma a mudança de sinal explicitada).
Calcular f(2) e f(3):
f(2)=2^{3}-6\cdot2-1=8-12-1=-5,
f(3)=3^{3}-6\cdot3-1=27-18-1=8.
Como f(2)=-5<0 e f(3)=8>0, existe pelo menos uma raiz em [2,3] (teorema do valor intermediário). Agora aplicamos a Posição Falsa para encontrá-la.

Passo 3

Explico o método da Posição Falsa (regula falsi) de forma bem prática.
  • Dados um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0, a aproximação pela Posição Falsa é a interseção da secante que liga (a,f(a)) a (b,f(b)) com o eixo x. A fórmula é:
x_{\text{novo}}=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Aqui:
  • a e b são as extremidades atuais do intervalo;
  • f(a) e f(b) são os valores da função nessas extremidades;
  • x_{\text{novo}} é a nova aproximação da raiz.
    Após calcular x_{\text{novo}} avalia-se f(x_{\text{novo}}). Se f(a)\cdot f(x_{\text{novo}})<0 então a raiz está em [a,x_{\text{novo}}] e atualiza-se b:=x_{\text{novo}}; se f(x_{\text{novo}})\cdot f(b)<0 então a raiz está em [x_{\text{novo}},b] e atualiza-se a:=x_{\text{novo}}.
    Critério de parada que vou usar (pedido): paro quando a mudança entre duas aproximações consecutivas for menor que \epsilon, isto é quando |x_{k+1}-x_k|<\epsilon. Aqui \epsilon=0{,}01.

Passo 4

Começo com a_0=2, b_0=3, f(a_0)=-5, f(b_0)=8.
Aplicando a fórmula:
x_1=\frac{2\cdot 8 - 3\cdot(-5)}{8-(-5)}=\frac{16+15}{13}=\frac{31}{13}\approx 2{,}384615.
Calculo f(x_1) exatamente em fração para ver o sinal:
f\!\left(\frac{31}{13}\right)=\left(\frac{31}{13}\right)^{3}-6\left(\frac{31}{13}\right)-1=\frac{29791}{2197}-\frac{31434}{2197}-\frac{2197}{2197}=\frac{-3840}{2197}\approx -1{,}747.
Como f(x_1)<0 e f(b_0)>0, a raiz está em [x_1,b_0]. Atualizo:
a_1=x_1\approx 2{,}384615,\qquad b_1=3.

Passo 5

Com a_1=\tfrac{31}{13}, f(a_1)=-\tfrac{3840}{2197}, b_1=3, f(b_1)=8, uso a fórmula:
x_2=\frac{a_1 f(b_1)-b_1 f(a_1)}{f(b_1)-f(a_1)} =\frac{\tfrac{31}{13}\cdot 8 - 3\cdot\big(-\tfrac{3840}{2197}\big)}{8 - \big(-\tfrac{3840}{2197}\big)} =\frac{\tfrac{41912}{2197}+\tfrac{11520}{2197}}{\tfrac{21416}{2197}}=\frac{53432}{21416}=\frac{6679}{2677}\approx 2{,}4949.
Avalio f(x_2) aproximadamente (suficiente para decidir o sinal):
Faço x_2^3 aproximado: 2{,}4949^3\approx 15{,}085 (cálculo aproximado) e 6x_2\approx 14{,}9694. Então
f(x_2)\approx 15{,}085 - 14{,}9694 -1 \approx -0{,}8844.
(Nota: uma avaliação mais cuidadosa dá f(x_2)\approx -0{,}44; o importante é que f(x_2)<0.) Como f(x_2)<0 e f(b_1)>0, a raiz está em [x_2,b_1]. Atualizo:
a_2=x_2\approx 2{,}4949,\qquad b_2=3.

Passo 6

Com a_2\approx2{,}4949, f(a_2)\approx -0{,}44, b_2=3, f(b_2)=8:
x_3=\frac{a_2\cdot 8 - 3\cdot f(a_2)}{8 - f(a_2)} \approx\frac{2{,}4949\cdot 8 - 3\cdot(-0{,}44)}{8 - (-0{,}44)} =\frac{19{,}9592 +1{,}32}{8{,}44}\approx\frac{21{,}2792}{8{,}44}\approx 2{,}521.
Avalio f(x_3) aproximadamente:
x_3^3\approx 2{,}521^3\approx 16{,}0221,\qquad 6x_3\approx 15{,}126,
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f(x_3)\approx 16{,}0221-15{,}126-1\approx -0{,}1039.
Temos f(x_3)<0, então a raiz está em [x_3,3]. Atualizo:
a_3\approx 2{,}521,\qquad b_3=3.
Verifico o critério: |x_3-x_2|\approx 2{,}521-2{,}4949=0{,}0261>\epsilon, então continuo.

Passo 7

Com a_3\approx2{,}521, f(a_3)\approx -0{,}1039, b_3=3, f(b_3)=8:
x_4=\frac{a_3\cdot 8 - 3\cdot f(a_3)}{8 - f(a_3)} \approx\frac{2{,}521\cdot 8 - 3\cdot(-0{,}1039)}{8 - (-0{,}1039)} =\frac{20{,}168 +0{,}3117}{8{,}1039}\approx\frac{20{,}4797}{8{,}1039}\approx 2{,}525.
Avalio f(x_4) aproximadamente:
x_4^3\approx 2{,}525^3\approx 16{,}0985,\qquad 6x_4\approx 15{,}150,
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f(x_4)\approx 16{,}0985-15{,}150-1\approx -0{,}0515.
Agora verifico o critério de parada entre as duas últimas aproximações:
|x_4-x_3|\approx 2{,}525-2{,}521=0{,}004<\epsilon(=0{,}01).
Portanto alcançamos a precisão exigida e podemos parar.

Passo 8

Interpretação do resultado e resposta à pergunta sobre unicidade da raiz.
  • A aproximação final pela Posição Falsa com critério |x_{k+1}-x_k|<0{,}01 é x\approx 2{,}525 (arredondamento às milésimas).
  • Para saber se há apenas uma raiz em [2,3] uso a monotonicidade: a derivada é
f'(x)=3x^{2}-6=3(x^{2}-2).
Para todo x\in[2,3] temos x^{2}\ge 4, logo x^{2}-2\ge 2 e
f'(x)=3(x^{2}-2)\ge 3\cdot 2=6>0\quad\text{em }[2,3].
Como f'(x)>0 em [2,3], f é estritamente crescente nesse intervalo. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz no intervalo. Como já sabemos que existe pelo menos uma (mudança de sinal), concluímos que existe exatamente uma raiz em [2,3].

Resposta

x\approx 2{,}525
Sim. O intervalo [2,3] contém exatamente uma raiz.

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