Classifique as sentenças a seguir como verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
O número 101 na base a é igual a 267 na base 10. Então a base do número 101 é 16 .
O número 101 na base a é igual a 267 na base 10. Então a base do número 101 é 16 .
Passo 1
O enunciado afirma: “O número
na base
é igual a
na base
. Então a base do número
é
.”
O que se pede: classificar essa sentença como verdadeira ou falsa e justificar a resposta.
Informações dadas:
O que se pede: classificar essa sentença como verdadeira ou falsa e justificar a resposta.
Informações dadas:
- O número escrito na base
é (ou seja, dígitos nessa base). - Esse número corresponde ao número
na base decimal (base ). - A conclusão proposta é que
.
Passo 2
Entender como interpretar
em uma base
.
Regra de posição (explicação didática): um número escrito na base com dígitos
vale
Regra de posição (explicação didática): um número escrito na base
Aqui, para
na base
os dígitos, da esquerda para a direita, são
. Logo seu valor em decimal (base
) é
Comentário sobre dígitos: cada dígito deve ser um número inteiro entre
e
. Como os dígitos presentes são apenas
e
, isso só exige
para serem válidos.
Passo 3
Traduzir a condição do enunciado em equação e resolver. O enunciado diz que
na base
é igual a
em base
. Usando o resultado do passo anterior:
Para encontrar
tomamos raiz quadrada:
Agora avaliar se isso dá um número inteiro: sabemos que
e
. Como
, vem que
Uma aproximação rápida:
e
, portanto
Logo
não é um inteiro.
Passo 4
Interpretação e regra sobre bases (a parte conceitual importante para a prova). Em aritmética usual de bases, a base
é um inteiro natural maior ou igual a
. Não se costuma admitir “base” não inteira em problemas elementares como este. Assim, para que exista uma base inteira
tal que
precisamos de um inteiro
satisfazendo
. Como vimos acima,
não é um quadrado perfeito, portanto não existe inteiro
com essa propriedade.
Passo 5
Verificação direta do caso
(mostra por que a afirmação dada é falsa). Calcular
na base
:
Comparando com
:
. Portanto afirmar que a base é
é incorreto.
Observação final: se alguém aceitasse bases não inteiras (situação não usual), haveria uma solução real
. Mas em contexto padrão de bases numéricas a base deve ser inteiro
, então não vale.
Resposta
Falsa