Classifique as sentenças a seguir como verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
O número 101 na base a é igual a 267 na base 10. Então a base do número 101 é 16 .

Passo 1

O enunciado afirma: “O número 101 na base a é igual a 267 na base 10. Então a base do número 101 é 16.”
O que se pede: classificar essa sentença como verdadeira ou falsa e justificar a resposta.
Informações dadas:
  • O número escrito na base a é 101 (ou seja, dígitos 1,0,1 nessa base).
  • Esse número corresponde ao número 267 na base decimal (base 10).
  • A conclusão proposta é que a=16.

Passo 2

Entender como interpretar 101 em uma base a.
Regra de posição (explicação didática): um número escrito na base a com dígitos d_n d_{n-1}\dots d_1 d_0 vale
d_n a^n + d_{n-1} a^{n-1} + \dots + d_1 a + d_0.
Aqui, para 101 na base a os dígitos, da esquerda para a direita, são 1,0,1. Logo seu valor em decimal (base 10) é
1\cdot a^2 + 0\cdot a + 1 = a^2 + 1.
Comentário sobre dígitos: cada dígito deve ser um número inteiro entre 0 e a-1. Como os dígitos presentes são apenas 0 e 1, isso só exige a\ge 2 para serem válidos.

Passo 3

Traduzir a condição do enunciado em equação e resolver. O enunciado diz que 101 na base a é igual a 267 em base 10. Usando o resultado do passo anterior:
a^2 + 1 = 267
a^2 = 266.
Para encontrar a tomamos raiz quadrada:
a = \sqrt{266}.
Agora avaliar se isso dá um número inteiro: sabemos que 16^2 = 256 e 17^2 = 289. Como 256 < 266 < 289, vem que
16 < \sqrt{266} < 17.
Uma aproximação rápida: 16{,}3^2 = 265{,}69 e 16{,}31^2 = 266{,}0161, portanto
\sqrt{266}\approx 16{,}309\dots
Logo a não é um inteiro.

Passo 4

Interpretação e regra sobre bases (a parte conceitual importante para a prova). Em aritmética usual de bases, a base a é um inteiro natural maior ou igual a 2. Não se costuma admitir “base” não inteira em problemas elementares como este. Assim, para que exista uma base inteira a tal que 101_a=267_{10} precisamos de um inteiro a satisfazendo a^2+1=267. Como vimos acima, a^2=266 não é um quadrado perfeito, portanto não existe inteiro a com essa propriedade.

Passo 5

Verificação direta do caso a=16 (mostra por que a afirmação dada é falsa). Calcular 101 na base 16:
101_{16}=1\cdot16^2+0\cdot16+1=256+1=257.
Comparando com 267: 257\neq267. Portanto afirmar que a base é 16 é incorreto.
Observação final: se alguém aceitasse bases não inteiras (situação não usual), haveria uma solução real a\approx16{,}309. Mas em contexto padrão de bases numéricas a base deve ser inteiro \ge 2, então não vale.

Resposta

Falsa

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