Seja f(t) uma função contínua e limitada em t >= 0. A transformada de Laplace de f é a função L definida por
L(s)=integral0^infty e^-s t f(t) d t
Calcule a transformada de Laplace das funções f(t)=1, g(t)=e^t e h(t)=sen t.

Passo 1

O enunciado define a transformada de Laplace de uma função contínua e limitada f(t) em t>=0 por
Lf(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
Para cada função dada ( f(t)=1, g(t)=e^t e h(t)=sin t) vamos aplicar diretamente essa definição, lembrando também das condições de convergência em s.

Passo 2

Calcular L1(s).
Usamos
L1(s)=integral0^inftye^-stcdot1,dt =integral0^inftye^-st,dt
Como integral0^inftye^-st,dt = l[-tfrac1s e^-str]0^infty, exige-se Re(s)>0 para que e^-stto0. Logo,
L1(s)=1s, Re(s)>0

Passo 3

Calcular Le^t(s).
Temos
Le^t(s)=integral0^infty e^-st e^t , dt =integral0^infty e^-(s-1)t , dt
Análogo ao caso anterior, essa integral converge se Re(s-1)>0, i.e.\ Re(s)>1. Então
Le^t(s)=1s-1, Re(s)>1

Passo 4

Calcular Lsin t(s).
Usamos
Lsin t(s)=integral0^inftye^-stsin t,dt
Uma forma rápida é notar que
integral0^inftye^-ste^it,dt=1s-i, Re(s)>0,
e extrair a parte imaginária:
Iml(tfrac1s-ir)=Iml(tfracs+is^2+1r)=1s^2+1
Portanto, para Re(s)>0,
Lsin t(s)=1s^2+1

Resposta

L1(s)=1s, Re(s)>0 Le^t(s)=1s-1, Re(s)>1 Lsin t(s)=1s^2+1, Re(s)>0

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