Seja
uma função contínua e limitada em
. A transformada de Laplace de
é a função
definida por
Calcule a transformada de Laplace das funções
e
.
Passo 1
O enunciado define a transformada de Laplace de uma função contínua e limitada
em
por
Para cada função dada (
,
e
) vamos aplicar diretamente essa definição, lembrando também das condições de convergência em
.
Passo 2
Calcular
.
Usamos
Usamos
Como
, exige-se
para que
. Logo,
Passo 3
Calcular
.
Temos
Temos
Análogo ao caso anterior, essa integral converge se
, i.e.\
. Então
Passo 4
Calcular
.
Usamos
Usamos
Uma forma rápida é notar que
e extrair a parte imaginária:
Portanto, para
,