Suponha
contínua em
e sejam
e
pertencentes a
, com
, as únicas raízes de
em
. Sejam
e
em
com
e
. Estude o sinal de
em
, a partir dos sinais de
e
. Justifique.
Passo 1
O enunciado afirma que
é contínua em
e tem exatamente duas raízes em
, em
e em
com
. Como
,
e
, os pontos
,
e
servem como “testes” de sinal em cada um dos três intervalos disjuntos
A tarefa é usar
,
e
para determinar o sinal de
em cada pedaço de
e ver se em
ou em
o sinal “troca” de positivo para negativo ou vice-versa.
Passo 2
Por continuidade de
e pelo fato de não haver outras raízes em cada intervalo citado,
não se anula dentro de
, de
nem de
. Logo, em cada um desses intervalos o sinal de
é constante.
Passo 3
Escolhendo um ponto de teste em cada intervalo, concluímos:
– Em o sinal de
é igual ao de
.
– Em o sinal de
é igual ao de
.
– Em o sinal de
é igual ao de
.
– Em
– Em
– Em
Passo 4
Para saber se o sinal “troca” em
, basta verificar o produto
Se
, então há troca de sinal em
(raiz de multiplicidade ímpar); se
, não há troca em
(multiplicidade par). De modo análogo, em
a troca de sinal ocorre exatamente quando
e não ocorre se
.
Resposta
Em resumo, para todo
que não seja
nem
:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Em
há troca de sinal se e só se
, e em
há troca de sinal se e só se
.