Suponha f contínua em I e sejam a e b pertencentes a I, com a<b, as únicas raízes de f em I. Sejam x0 x1 e x2 em I com x0<a, a<x1<b e b<x2. Estude o sinal de f em I, a partir dos sinais de f(x0), f(x1) e f(x2). Justifique.

Passo 1

O enunciado afirma que f é contínua em I e tem exatamente duas raízes em I, em x=a e em x=b com a<b. Como x0<a, a<x1<b e x2>b, os pontos x0, x1 e x2 servem como “testes” de sinal em cada um dos três intervalos disjuntos
(-infty,a), (a,b), (b,infty)
A tarefa é usar f(x0), f(x1) e f(x2) para determinar o sinal de f em cada pedaço de I e ver se em a ou em b o sinal “troca” de positivo para negativo ou vice-versa.

Passo 2

Por continuidade de f e pelo fato de não haver outras raízes em cada intervalo citado, f não se anula dentro de (-infty,a), de (a,b) nem de (b,infty). Logo, em cada um desses intervalos o sinal de f é constante.

Passo 3

Escolhendo um ponto de teste em cada intervalo, concluímos:
– Em (-infty,a) o sinal de f é igual ao de f(x0).
– Em (a,b) o sinal de f é igual ao de f(x1).
– Em (b,infty) o sinal de f é igual ao de f(x2).

Passo 4

Para saber se o sinal “troca” em x=a, basta verificar o produto
f(x0),f(x1)
Se f(x0),f(x1)<0, então há troca de sinal em a (raiz de multiplicidade ímpar); se f(x0),f(x1)>0, não há troca em a (multiplicidade par). De modo análogo, em x=b a troca de sinal ocorre exatamente quando
f(x1),f(x2)<0,
e não ocorre se f(x1),f(x2)>0.

Resposta

Em resumo, para todo xin I que não seja a nem b:
  • Se x<a, então sgnf(x)=sgnf(x0).
  • Se a<x<b, então sgnf(x)=sgnf(x1).
  • Se x>b, então sgnf(x)=sgnf(x2).
Em x=a há troca de sinal se e só se f(x0),f(x1)<0, e em x=b há troca de sinal se e só se f(x1),f(x2)<0.

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