Seja f:[0,1] times[0,1] R uma função contínua tal que partial fpartial x(x0, y0)=alpha e partial fpartial y(x0, y0)=0 para todos os pontos (x0, y0) in] 0,1[times] 0,1[.
Se f(0,0)=2 / pi, quanto valem f(0,0.5) e f(0.5,0.5) ?

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua f:[0,1]times[0,1]toR com
partial fpartial x(x0,y0)=alpha e partial fpartial y(x0,y0)=0
para todo (x0,y0)in,]0,1[times,]0,1[, e sabemos que f(0,0)=tfrac2pi. Vamos usar o fato de que derivada parcial em y nula implica que f não varia com y, e derivada parcial em x constante implica variação linear em x.

Passo 2

Como partial f/partial y=0 em todo o interior, f é constante em cada “linha” de x fixo. Ou seja, para todo x fixo e quaisquer y1,y2,
f(x,y1)=f(x,y2)
Em particular, para x=0,
f(0,y)=f(0,0)=2pi forall,yin[0,1]

Passo 3

Como partial f/partial x=alpha em todo o interior, f varia linearmente em x. Logo, para cada y,
f(x,y)=alpha,x + C(y)
Mas do passo anterior vimos que f(0,y)=2/pi, então
C(y)=f(0,y)=2pi,
independente de y. Portanto
f(x,y)=alpha,x+2pi

Passo 4

Basta agora avaliar nas coordenadas pedidas:
f(0,0.5) =alphacdot 0 + 2pi =2pi,
f(0.5,0.5) =alphacdot 0.5 + 2pi =2pi + alpha2

Resposta

f(0,0.5)=dfrac2pi
f(0.5,0.5)=dfrac2pi + dfracalpha2

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