Use a derivação implicita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. (elipse)
Passo 1
O enunciado nos dá a curva definida implicitamente por
e pede a reta tangente a essa curva no ponto .
O conteúdo aqui é derivação implícita: vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a , tratar como função de (ou seja, usar para ) e depois avaliar em .
Passo 2
Aplicamos a derivada em cada termo da equação
Calculando termo a termo:
Para , usamos produto:
E
Logo a derivada implícita dá
Passo 3
Agrupando os termos com de um lado e os demais do outro, temos
Isolando :
Passo 4
Para achar o coeficiente angular da reta tangente em , substituímos e :
Passo 5
A equação da reta tangente com coeficiente angular m passando por (x0,y0)=(2,1) é
y - y0 = m,(x - x0) Longrightarrow y - 1 = -tfrac12,(x - 2)
Podemos reescrever em forma explicita:
y - 1 = -tfrac12,x + 1 Longrightarrow y = -tfrac12,x + 2