Use a derivação implicita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
x^2+2 x y+4 y^2=12, (2,1) (elipse)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida implicitamente por
x^2 + 2,x,y + 4,y^2 = 12
e pede a reta tangente a essa curva no ponto (2,1).
O conteúdo aqui é derivação implícita: vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x, tratar y como função de x (ou seja, usar y' para tfracdydx) e depois avaliar em (2,1).

Passo 2

Aplicamos a derivada em cada termo da equação
ddxl(x^2r) + ddxl(2xyr) + ddxl(4y^2r) ;=; ddx(12)
Calculando termo a termo:
  • ddx(x^2) = 2x
  • Para ddx(2xy), usamos produto: ddx(2xcdot y) = 2l(xcdot y' + ycdot 1r) = 2l(x,y' + yr)
  • ddx(4y^2) = 4cdot 2y,y' = 8y,y'
  • E ddx(12)=0
Logo a derivada implícita dá
2x + 2l(x,y' + yr) + 8y,y' = 0

Passo 3

Agrupando os termos com y' de um lado e os demais do outro, temos
2x + 2y + 2x,y' + 8y,y' = 0 Longrightarrow 2x + 2y + y'(2x + 8y) = 0
Isolando y':
y'(2x + 8y) = -l(2x + 2yr) Longrightarrow y' = -2(x + y)2x + 8y = -(x + y)x + 4y

Passo 4

Para achar o coeficiente angular da reta tangente em (2,1), substituímos x=2 e y=1:
m = y'l|(2,1) = -(2 + 1)2 + 4cdot1 = -36 = -tfrac12

Passo 5

A equação da reta tangente com coeficiente angular m passando por (x0,y0)=(2,1) é
y - y0 = m,(x - x0) Longrightarrow y - 1 = -tfrac12,(x - 2)
Podemos reescrever em forma explicita:
y - 1 = -tfrac12,x + 1 Longrightarrow y = -tfrac12,x + 2

Resposta

A reta tangente à curva no ponto (2,1) é
boxedy = -tfrac12,x + 2

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