Seja f uma função dada por
f(x)=1-x^2(x-2)^2
Determine:
Sabendo que f^prime prime(x)=-8 x-2(x-2)^4. Os intervalos onde f é côncava para cima e côncava para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função chamada f(x) = 1 - x^2(x - 2)^2 . A parada é descobrir onde essa função é côncava para cima e para baixo. Para isso, vamos usar o segundo derivado da função, que nesse caso é f''(x) = -8x - 2(x - 2)^4 . Basicamente, se f''(x) for positivo, a função é côncava para cima, e se for negativo, é côncava para baixo.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa encontrar os pontos onde o segundo derivado é igual a zero ou onde ele não está definido. Vamos resolver f''(x) = 0 :
-8x - 2(x - 2)^4 = 0
O numerador precisa ser zero, então:
-8x - 2 = 0 implies -8x = 2 implies x = -28 = -14
Além disso, f''(x) não está definido quando o denominador é zero, ou seja, quando x = 2 .

Passo 3

Agora, a gente divide a linha dos números em intervalos baseados nesses pontos críticos: x = -14 e x = 2 . Os intervalos ficam assim:
  1. x < -14
  2. -14 < x < 2
  3. x > 2
Vamos testar um número em cada intervalo para ver o sinal de f''(x) .

Passo 4

Intervalo 1: x < -14
Vamos escolher x = -1 :
f''(-1) = -8(-1) - 2(-1 - 2)^4 = 8 - 281 = 681 > 0
Como f''(x) é positivo, a função é côncava para cima nesse intervalo.

Passo 5

Intervalo 2: -14 < x < 2
Vamos escolher x = 0 :
f''(0) = -8(0) - 2(0 - 2)^4 = -216 = -18 < 0
Aqui, f''(x) é negativo, então a função é côncava para baixo nesse intervalo.

Passo 6

Intervalo 3: x > 2
Vamos escolher x = 3 :
f''(3) = -8(3) - 2(3 - 2)^4 = -24 - 21 = -26 < 0
Mais uma vez, f''(x) é negativo, indicando que a função é côncava para baixo nesse intervalo.

Resposta

A função f(x) é côncava para cima no intervalo (-infty, -14) e côncava para baixo nos intervalos (-14, 2) e (2, +infty) .

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