Seja
uma função dada por
Determine:
Sabendo que
. Os intervalos onde
é côncava para cima e côncava para baixo.
Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função chamada
. A parada é descobrir onde essa função é côncava para cima e para baixo. Para isso, vamos usar o segundo derivado da função, que nesse caso é
. Basicamente, se
for positivo, a função é côncava para cima, e se for negativo, é côncava para baixo.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa encontrar os pontos onde o segundo derivado é igual a zero ou onde ele não está definido. Vamos resolver
:
O numerador precisa ser zero, então:
Além disso,
não está definido quando o denominador é zero, ou seja, quando
.
Passo 3
Agora, a gente divide a linha dos números em intervalos baseados nesses pontos críticos:
e
. Os intervalos ficam assim:
Vamos testar um número em cada intervalo para ver o sinal de
.
Passo 4
Intervalo 1:
Vamos escolher
:
Como
é positivo, a função é côncava para cima nesse intervalo.
Passo 5
Intervalo 2:
Vamos escolher
:
Aqui,
é negativo, então a função é côncava para baixo nesse intervalo.
Passo 6
Intervalo 3:
Vamos escolher
:
Mais uma vez,
é negativo, indicando que a função é côncava para baixo nesse intervalo.
Resposta
A função
é côncava para cima no intervalo
e côncava para baixo nos intervalos
e
.