Seja f a função definida por f(x)=arctan x para todo x in R.
a. Calcular f^(270)(0) e f^(345)(0).
b. Calcular .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: na parte (a) calcular as derivadas de ordem 270 e 345 de f em 0, sendo f(x)= arctan x; na parte (b) avaliar a soma infinita sumn=0^infty(-1)^n3^n(2n+1). Vamos usar o desenvolvimento de Maclaurin de arctan x e a identificação de séries de potências.

Passo 2

O desenvolvimento de Maclaurin de arctan x é dado por
arctan x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1
Isso significa que o coeficiente do termo x^2n+1 é (-1)^n/(2n+1). Como em geral num polinômio de Taylor
f(x)=sumk=0^inftyf^(k)(0)k!,x^k,
o termo x^2n+1 satisfaz
f^(2n+1)(0)(2n+1)!=(-1)^n12n+1
Logo
f^(2n+1)(0)=(-1)^n,(2n)!,
e todas as derivadas de ordem par são zero.

Passo 3

Para f^{(270)}(0) e f^{(345)}(0) notamos que 270 é par, então
f^(270)(0)=0
Como 345 é impar, escrevemos 345=2n+1, daí n=(345−1)/2=172, logo
f^(345)(0)=(-1)^172,(2cdot172)!=+,(344)!=344!

Passo 4

Para a soma
S=sumn=0^infty(-1)^n3^n(2n+1),
vamos expressá-la em termos da série de arctan x. Sabemos que
arctan x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1
Se escolhermos x=1/raiz3, então
x^2n+1=(1/raiz3)^2n+1=1raiz3,13^n
Logo
arctanl(1/raiz3r)=sumn=0^infty(-1)^n1raiz313^n(2n+1)=1raiz3S
Mas arctan(1/raiz3)=pi/6. Logo
S=raiz3,pi6=piraiz36

Resposta

f^{(270)}(0)=0; f^{(345)}(0)=344! e (\displaystyle\sum_{n=0}{\infty}\frac{(-1)n}{3^n(2n+1)}=\frac{\pi\sqrt3}{6}.}

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