Seja
a função definida por
para todo
.
a. Calcular
e
.
b. Calcular
.
a. Calcular
b. Calcular
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: na parte (a) calcular as derivadas de ordem 270 e 345 de f em 0, sendo f(x)=
; na parte (b) avaliar a soma infinita
. Vamos usar o desenvolvimento de Maclaurin de
e a identificação de séries de potências.
Passo 2
O desenvolvimento de Maclaurin de
é dado por
Isso significa que o coeficiente do termo
é
. Como em geral num polinômio de Taylor
o termo
satisfaz
Logo
e todas as derivadas de ordem par são zero.
Passo 3
Para f^{(270)}(0) e f^{(345)}(0) notamos que 270 é par, então
Como 345 é impar, escrevemos 345=2n+1, daí n=(345−1)/2=172, logo
Passo 4
Para a soma
vamos expressá-la em termos da série de
. Sabemos que
Se escolhermos
, então
Logo
Mas
. Logo
Resposta
f^{(270)}(0)=0; f^{(345)}(0)=344! e (\displaystyle\sum_{n=0}{\infty}\frac{(-1)n}{3^n(2n+1)}=\frac{\pi\sqrt3}{6}.}