Seja g a função definida por
g(x)=raizx(x-2)
Determine o domínio e a imagem de g e faça um esboço de seu gráfico.

Passo 1

O enunciado define a função
g(x)=raizx(x-2)
e pede (i) o domínio, (ii) a imagem (ou alcance) e (iii) um esboço do gráfico.
O conteúdo é análise de função com raiz quadrada: precisamos exigir que o radicando seja não-negativo, isto é
x(x-2)>=0

Passo 2

Resolva a inequação
x(x-2)>=0
Os zeros do polinômio são x=0 e x=2. Como o coeficiente de x^2 é positivo, o produto é >=0 para
xin(-infty,0]cup[2,infty)

Passo 3

Concluímos que o domínio de g é
D=xinRmid x<=0 ou x>=2 =(-infty,0]cup[2,infty)

Passo 4

Para a imagem note que em ambas as “pontas” do domínio o valor de g tende a +infty, e nos pontos de fronteira x=0 e x=2 temos
g(0)=raiz0cdot(-2)=0, g(2)=raiz2cdot0=0
Além disso g(x)>=0 sempre. Logo a imagem é
Im(g)=[0,+infty)

Passo 5

Esboço do gráfico de y=g(x):
  • Para x<=0, g(x) decresce de +infty (quando xto-infty) até 0 em (0,0).
  • Para x>=2, g(x) cresce de 0 em (2,0) até +infty (quando xto+infty).
    Cada ramo é contínuo e nasce/termina no eixo em (0,0) e (2,0).

Resposta

Domínio: (-infty,0]cup[2,infty)
Imagem: [0,infty)
Gráfico: dois ramos simétricos em relação à reta vertical x=1, encontrando o eixo em (0,0) e (2,0), um ramo decrescente para x<=0 e outro crescente para x>=2.

Exercícios relacionados