Seja z=f(x, y) uma função definida implicitamente por y z+x e^y=z^2+c y, onde c é uma constante real. Se f(0,1)=-2, o valor de c+partial fpartial y(0,1) é igual a:
Escolha uma opção:
a. -4 / 5
b. -34 / 5
c. -26 / 5
d. -5 / 26
e. 5 / 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ z = f(x, y) $ definida pela equação $ y z + x e^{y} = z^{2} + c y $. A gente precisa descobrir o valor de $ c + \frac{\partial f}{\partial y}(0,1) $, sabendo que $ f(0,1) = -2 $. Para resolver isso, vamos usar cálculo implícito para encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ e, em seguida, encontrar o valor de $ c $.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir $ x = 0 $ e $ y = 1 $ na equação dada para encontrar $ z $ quando $ x = 0 $ e $ y = 1 $.
A equação é:
x = 0
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 1 $:
y = 1
z
Sabemos que $ f(0,1) = -2 $, ou seja, $ z = -2 $. Então:
x = 0
y = 1
y z + x e^y = z^2 + c y

Passo 3

Agora que já encontramos $ c = -6 $, vamos encontrar a derivada parcial $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em $ (0,1) $.
Para isso, vamos derivar implicitamente a equação original em relação a $ y $.
A equação original é:
c = -6
Derivando ambos os lados em relação a $ y $:
partial fpartial y
Vamos derivar cada termo:
  1. $ \frac{d}{dy}(y z) = z + y \frac{\partial z}{\partial y} $
  2. $ \frac{d}{dy}(x e^{y}) = x e^{y} $ (já que $ x $ é tratado como constante)
  3. $ \frac{d}{dy}(z^{2}) = 2 z \frac{\partial z}{\partial y} $
  4. $ \frac{d}{dy}(c y) = c $ (pois $ c $ é constante)
Colocando tudo na equação:
(0,1)

Passo 4

Agora vamos resolver para $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Isolando os termos com $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial y
Fatorando $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial y
Então:
y partial zpartial y - 2 z partial zpartial y = c - z - x e^y

Passo 5

Agora vamos substituir $ x = 0 $, $ y = 1 $, $ z = -2 $ e $ c = -6 $ na expressão da derivada parcial:
x = 0

Resposta

O valor de $ c + \frac{\partial f}{\partial y}(0,1) $ é $ -6 + \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{34}{5} $. Portanto, a resposta correta é a letra b. $ -34 / 5 $.

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