Seja
uma função definida implicitamente por
, onde
é uma constante real. Se
, o valor de
é igual a:
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ z = f(x, y) $ definida pela equação $ y z + x e^{y} = z^{2} + c y $. A gente precisa descobrir o valor de $ c + \frac{\partial f}{\partial y}(0,1) $, sabendo que $ f(0,1) = -2 $. Para resolver isso, vamos usar cálculo implícito para encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ e, em seguida, encontrar o valor de $ c $.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ x = 0 $ e $ y = 1 $ na equação dada para encontrar $ z $ quando $ x = 0 $ e $ y = 1 $.
A equação é:
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 1 $:
Sabemos que $ f(0,1) = -2 $, ou seja, $ z = -2 $. Então:
Passo 3
Agora que já encontramos $ c = -6 $, vamos encontrar a derivada parcial $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em $ (0,1) $.
Para isso, vamos derivar implicitamente a equação original em relação a $ y $.
A equação original é:
Derivando ambos os lados em relação a $ y $:
Vamos derivar cada termo:
- $ \frac{d}{dy}(y z) = z + y \frac{\partial z}{\partial y} $
- $ \frac{d}{dy}(x e^{y}) = x e^{y} $ (já que $ x $ é tratado como constante)
- $ \frac{d}{dy}(z^{2}) = 2 z \frac{\partial z}{\partial y} $
- $ \frac{d}{dy}(c y) = c $ (pois $ c $ é constante)
Colocando tudo na equação:
Passo 4
Agora vamos resolver para $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Isolando os termos com $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Fatorando $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Então:
Passo 5
Agora vamos substituir $ x = 0 $, $ y = 1 $, $ z = -2 $ e $ c = -6 $ na expressão da derivada parcial:
Resposta
O valor de $ c + \frac{\partial f}{\partial y}(0,1) $ é $ -6 + \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{34}{5} $. Portanto, a resposta correta é a letra b. $ -34 / 5 $.