Seja a função definida por partes
. Considere as afirmativas a seguir.
i. O domínio de
são todos os números reais, exceto
.
ii.
tem uma assintota vertical em
.
iii.
é contínua em
.
Qual das alternativas a seguir indica apenas todas as afirmativas verdadeiras?
(a) i.
(b) nenhuma
© ii.
(d) iii.
(e) NDA
i. O domínio de
ii.
iii.
(a) i.
(b) nenhuma
© ii.
(d) iii.
(e) NDA
Passo 1
O enunciado define uma função por partes: para x<0 temos f(x)=x; para x≥0, x≠1 temos f(x)=
. O conteúdo envolve analisar domínio, assíntotas verticais e continuidade de funções definidas por partes, precisaremos simplificar a segunda parte e estudar limites.
Passo 2
Para achar o domínio, observamos que a primeira parte vale para todos x<0 e a segunda vale para x≥0, exceto x=1 (denominador zero). Logo o domínio é todos os reais, exceto x=1, comprovando que a afirmativa i é verdadeira.
Passo 3
Para verificar se há assíntota vertical em x=1, simplificamos a expressão da segunda parte:
para x≠1. Assim, ao aproximar x de 1, f(x) tende a 2, não vai a ±∞. Portanto não há assíntota vertical, e a afirmativa ii é falsa.
Passo 4
Para checar continuidade em x=0, calculamos os limites laterais: à esquerda,
; à direita, usando
, temos
. Como esses limites são diferentes, f não é contínua em 0, logo a afirmativa iii é falsa.
Resposta
A única afirmativa verdadeira é a i, correspondendo à alternativa (a).