Seja a função definida por partes f(x)= llx, & x<0 x^2-1x-1, & x >= 0, x neq 1. Considere as afirmativas a seguir.
i. O domínio de f(x) são todos os números reais, exceto x=1.
ii. f(x) tem uma assintota vertical em x=1.
iii. f(x) é contínua em x=0.
Qual das alternativas a seguir indica apenas todas as afirmativas verdadeiras?
(a) i.
(b) nenhuma
© ii.
(d) iii.
(e) NDA

Passo 1

O enunciado define uma função por partes: para x<0 temos f(x)=x; para x≥0, x≠1 temos f(x)= x^2-1x-1. O conteúdo envolve analisar domínio, assíntotas verticais e continuidade de funções definidas por partes, precisaremos simplificar a segunda parte e estudar limites.

Passo 2

Para achar o domínio, observamos que a primeira parte vale para todos x<0 e a segunda vale para x≥0, exceto x=1 (denominador zero). Logo o domínio é todos os reais, exceto x=1, comprovando que a afirmativa i é verdadeira.

Passo 3

Para verificar se há assíntota vertical em x=1, simplificamos a expressão da segunda parte: x^2-1x-1=x+1 para x≠1. Assim, ao aproximar x de 1, f(x) tende a 2, não vai a ±∞. Portanto não há assíntota vertical, e a afirmativa ii é falsa.

Passo 4

Para checar continuidade em x=0, calculamos os limites laterais: à esquerda, limxto0^-f(x)=0; à direita, usando f(x)=x+1, temos limxto0^+f(x)=1. Como esses limites são diferentes, f não é contínua em 0, logo a afirmativa iii é falsa.

Resposta

A única afirmativa verdadeira é a i, correspondendo à alternativa (a).

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