Sejam
e
. Mostre que
Passo 1
O enunciado define as coordenadas polares
x = r \cos\theta e y = r \sin\theta e pede para encontrar as derivadas parciais de u(x,y) e v(x,y) em relação a r e \theta. O conteúdo é a aplicação da regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis.
x = r \cos\theta e y = r \sin\theta e pede para encontrar as derivadas parciais de u(x,y) e v(x,y) em relação a r e \theta. O conteúdo é a aplicação da regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis.
Passo 2
Para calcular
e
, aplicamos a regra da cadeia em u(x(r,\theta),y(r,\theta)). A teoria diz que:
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de x e y em relação a r e \theta:
Passo 4
Substituindo esses valores nas fórmulas da regra da cadeia, obtemos para u:
Passo 5
O mesmo raciocínio vale para v(x,y): aplicamos exatamente as mesmas fórmulas trocando u por v e chegamos a: