Seja a função
definida pelos pontos
e
. Determine aproximadamente o valor de
usando para os pontos dados o polinômio interpolador linear (caso particular da Forma de Newton).
Passo 1
O enunciado pede para aproximar o valor de
sabendo apenas dois pontos da função:
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
A tarefa é usar o polinômio interpolador linear (forma de Newton para dois pontos) para estimar
.
Passo 2
Vamos entender o polinômio interpolador linear na Forma de Newton. Para dois pontos
e
o polinômio de grau 1 em Newton é
onde:
-
é a “diferença dividida” de ordem zero (apenas o valor da função no ponto), -
é a diferença dividida de primeira ordem — que, no caso de dois pontos, corresponde exatamente à inclinação da reta que passa pelos dois pontos.
Intuitivamente: o polinômio é a reta que passa pelos dois pontos; ele tem termo constante igual ae coeficiente angular igual à variação de sobre a variação de .
Passo 3
Calcule
. Pelo ponto dado,
Passo 4
Calcule a diferença dividida de primeira ordem
:
Faça a subtração:
logo
Este valor é a inclinação da reta que interpola os dois pontos.
Passo 5
Monte o polinômio
substituindo os valores encontrados:
Como
, isso simplifica para
Essa é a reta interpoladora. Na prova, basta montar essa forma e avaliar em
desejado.
Passo 6
Avalie
em
. Primeiro calcule o produto
. Faço passo a passo usando inteiros para evitar erro mecânico:
Calcule
:
Portanto
Agora some o termo constante:
Arredondando,
(ou, se preferir duas casas decimais,
).