Seja a função f(x) definida pelos pontos (0,00 ; 1,35) e (1,00 ; 2,94). Determine aproximadamente o valor de f(0,73) usando para os pontos dados o polinômio interpolador linear (caso particular da Forma de Newton).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o valor de f(0,73) sabendo apenas dois pontos da função: (0,00; 1,35) e (1,00; 2,94).
Informações dadas:
(x_0,y_0)=(0,00;1,35),\qquad (x_1,y_1)=(1,00;2,94).
A tarefa é usar o polinômio interpolador linear (forma de Newton para dois pontos) para estimar f(0,73).

Passo 2

Vamos entender o polinômio interpolador linear na Forma de Newton. Para dois pontos (x_0,y_0) e (x_1,y_1) o polinômio de grau 1 em Newton é
P_1(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1]\,(x-x_0),
onde:
  • f[x_0]=f(x_0)=y_0 é a “diferença dividida” de ordem zero (apenas o valor da função no ponto),
  • f[x_0,x_1]=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} é a diferença dividida de primeira ordem — que, no caso de dois pontos, corresponde exatamente à inclinação da reta que passa pelos dois pontos.
    Intuitivamente: o polinômio é a reta que passa pelos dois pontos; ele tem termo constante igual a y_0 e coeficiente angular igual à variação de y sobre a variação de x.

Passo 3

Calcule f[x_0]. Pelo ponto dado,
f[x_0]=f(0,00)=1,35.

Passo 4

Calcule a diferença dividida de primeira ordem f[x_0,x_1]:
f[x_0,x_1]=\frac{f(1,00)-f(0,00)}{1,00-0,00}=\frac{2,94-1,35}{1,00}.
Faça a subtração:
2,94-1,35=1,59,
logo
f[x_0,x_1]=1,59.
Este valor é a inclinação da reta que interpola os dois pontos.

Passo 5

Monte o polinômio P_1(x) substituindo os valores encontrados:
P_1(x)=1,35+1,59\,(x-0,00).
Como x_0=0,00, isso simplifica para
P_1(x)=1,35+1,59x.
Essa é a reta interpoladora. Na prova, basta montar essa forma e avaliar em x desejado.

Passo 6

Avalie P_1 em x=0,73. Primeiro calcule o produto 1,59\cdot 0,73. Faço passo a passo usando inteiros para evitar erro mecânico:
1,59\cdot 0,73 = \frac{159}{100}\cdot\frac{73}{100}=\frac{159\cdot 73}{10000}.
Calcule 159\cdot 73:
159\cdot 73 = 159\cdot(70+3)=159\cdot70+159\cdot3=11130+477=11607.
Portanto
1,59\cdot 0,73=\frac{11607}{10000}=1,1607.
Agora some o termo constante:
P_1(0,73)=1,35+1,1607=2,5107.
Arredondando, P_1(0,73)\approx 2,5107 (ou, se preferir duas casas decimais, 2,51).

Resposta

f(0,73)\approx 2,5107

Exercícios relacionados