Seja \mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}4 & 2 & 14 \\\\ 2 & 17 & -5 \\\\ 14 & -5 & 83\end{array}\right], e seja o produto L L^{\top}=A. Assinale verdadeiro ou falso para as afirmações a seguir.
a) A satisfaz as condições da decomposição de Cholesky, pois é simétrica e definida positiva.
b) L=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\\\ 1 & 4 & 0 \\\\ 7 & -3 & 5\end{array}\right]
c) \operatorname{det}(A)=\left(l_{11} l_{22} l_{33}\right)^2=40^2=1600
e nos dizem que existe uma matriz triangular inferior L tal que L L^\top = A. Precisamos assinalar verdadeiro ou falso para três afirmações:
a) A satisfaz as condições da decomposição de Cholesky, pois é simétrica e definida positiva.
Todas as informações relevantes do enunciado estão acima; agora vamos resolver passo a passo e aprender como proceder na prova.]
Passo 2
O que é a decomposição de Cholesky (explicação didática). A decomposição de Cholesky procura uma matriz triangular inferior L com diagonais positivas tal que
L L^\top = A.
Esta decomposição existe exatamente quando A é simétrica e definida positiva. Ser simétrica significa A^\top = A. Ser definida positiva significa, por exemplo, que para todo vetor não-nulo x vale x^\top A x > 0. Um teste prático (critérios usados em prova) é o critério de Sylvester: todos os menores principais (os determinantes dos blocos superiores-left) devem ser positivos para A ser definida positiva.
Primeiro verificamos simetria e depois calculamos L pelo procedimento direto da Cholesky (fórmulas e cálculos no próximo passo).
Passo 3
Verificando simetria e escrevendo as fórmulas da Cholesky. Observamos que A é simétrica porque os elementos acima e abaixo da diagonal concordam (2 em (1,2) e (2,1), 14 em (1,3) e (3,1), etc.). Agora as fórmulas padrão para L=(\ell_{ij}) são, para i\ge j:
Agora verifico o produto (faça isso na prova para checar): calculemos entradas de L L^\top:
(LL^\top)_{11}=2^2=4,
(LL^\top)_{12}=2\cdot1=2,
(LL^\top)_{13}=2\cdot7=14,
(LL^\top)_{22}=1^2+4^2=1+16=17,
(LL^\top)_{23}=1\cdot7+4\cdot(-3)=7-12=-5,
(LL^\top)_{33}=7^2+(-3)^2+5^2=49+9+25=83.
Esses valores batem exatamente com os correspondentes em A, portanto L L^\top = A. Isso confirma a afirmação b como verdadeira.]
Passo 8
Concluindo sobre positiva-definitude (explicação didática e aplicação). Como encontramos uma decomposição L L^\top = A com os elementos diagonais \ell_{11},\ell_{22},\ell_{33} todos positivos (2,4,5), isso já implica que A é definida positiva (uma propriedade: se existe Cholesky com diagonais positivas, então A é simétrica definida positiva). Alternativamente, podemos usar o critério de Sylvester: os menores principais são \det([4])=4>0, \det\begin{pmatrix}4&2\\[2pt]2&17\end{pmatrix}=4\cdot17-2\cdot2=68-4=64>0 e o determinante total ainda veremos no próximo passo — todos positivos, logo A é definida positiva. Assim a afirmação a é verdadeira.]
Passo 9
Determinante e relação com L (didática). Para qualquer matriz triangular L, \det(L) é o produto das entradas da diagonal. Como \det(A)=\det(L L^\top)=\det(L)\det(L^\top)=\det(L)^2 (pois \det(L^\top)=\det(L)), temos