Seja \mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}4 & 2 & 14 \\\\ 2 & 17 & -5 \\\\ 14 & -5 & 83\end{array}\right], e seja o produto L L^{\top}=A. Assinale verdadeiro ou falso para as afirmações a seguir.
a) A satisfaz as condições da decomposição de Cholesky, pois é simétrica e definida positiva.
b) L=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\\\ 1 & 4 & 0 \\\\ 7 & -3 & 5\end{array}\right]
c) \operatorname{det}(A)=\left(l_{11} l_{22} l_{33}\right)^2=40^2=1600

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. Temos a matriz
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}4 & 2 & 14\\[4pt]2 & 17 & -5\\[4pt]14 & -5 & 83\end{pmatrix}
e nos dizem que existe uma matriz triangular inferior L tal que L L^\top = A. Precisamos assinalar verdadeiro ou falso para três afirmações:
a) A satisfaz as condições da decomposição de Cholesky, pois é simétrica e definida positiva.
b) L=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\[4pt]1 & 4 & 0\\[4pt]7 & -3 & 5\end{pmatrix}.
c) \det(A) = \bigl(l_{11} l_{22} l_{33}\bigr)^2 = 40^2 = 1600.
Todas as informações relevantes do enunciado estão acima; agora vamos resolver passo a passo e aprender como proceder na prova.]

Passo 2

O que é a decomposição de Cholesky (explicação didática). A decomposição de Cholesky procura uma matriz triangular inferior L com diagonais positivas tal que
L L^\top = A.
Esta decomposição existe exatamente quando A é simétrica e definida positiva. Ser simétrica significa A^\top = A. Ser definida positiva significa, por exemplo, que para todo vetor não-nulo x vale x^\top A x > 0. Um teste prático (critérios usados em prova) é o critério de Sylvester: todos os menores principais (os determinantes dos blocos superiores-left) devem ser positivos para A ser definida positiva.
Primeiro verificamos simetria e depois calculamos L pelo procedimento direto da Cholesky (fórmulas e cálculos no próximo passo).

Passo 3

Verificando simetria e escrevendo as fórmulas da Cholesky. Observamos que A é simétrica porque os elementos acima e abaixo da diagonal concordam ( 2 em (1,2) e (2,1), 14 em (1,3) e (3,1), etc.). Agora as fórmulas padrão para L=(\ell_{ij}) são, para i\ge j:
\ell_{11}=\sqrt{a_{11}},
\ell_{i1}=\frac{a_{i1}}{\ell_{11}}\quad(i>1),
para a segunda diagonal
\ell_{22}=\sqrt{a_{22}-\ell_{21}^2},
e, em geral, para i>j
\ell_{ij}=\frac{1}{\ell_{jj}}\Bigl(a_{ij}-\sum_{k=1}^{j-1}\ell_{ik}\ell_{jk}\Bigr),
e finalmente
\ell_{jj}=\sqrt{a_{jj}-\sum_{k=1}^{j-1}\ell_{jk}^2}.
Vou aplicar essas fórmulas coordenada a coordenada — isso é exatamente o procedimento que você pode fazer na prova sem complicação.

Passo 4

Cálculo de \ell_{11}, \ell_{21} e \ell_{31}. Usando as fórmulas:
\ell_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{4}=2.
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{\ell_{11}}=\frac{2}{2}=1.
\ell_{31}=\frac{a_{31}}{\ell_{11}}=\frac{14}{2}=7.
Anota aí: já temos a primeira coluna de L: \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]7\end{pmatrix}.]

Passo 5

Cálculo de \ell_{22} e \ell_{32}. Primeiro a diagonal \ell_{22}:
\ell_{22}=\sqrt{a_{22}-\ell_{21}^2}=\sqrt{17-1^2}=\sqrt{16}=4.
Agora o elemento \ell_{32} (usar a fórmula para i=3,j=2):
\ell_{32}=\frac{1}{\ell_{22}}\bigl(a_{32}-\ell_{31}\ell_{21}\bigr) =\frac{1}{4}\bigl(-5 - 7\cdot 1\bigr)=\frac{-12}{4}=-3.

Passo 6

Cálculo de \ell_{33}. Usamos a fórmula da diagonal de índice 3:
\ell_{33}=\sqrt{a_{33}-\ell_{31}^2-\ell_{32}^2} =\sqrt{83-7^2-(-3)^2}=\sqrt{83-49-9}=\sqrt{25}=5.

Passo 7

Montando L e verificando que L L^\top = A. Com os elementos calculados,
L=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\[4pt]1 & 4 & 0\\[4pt]7 & -3 & 5\end{pmatrix}.
Agora verifico o produto (faça isso na prova para checar): calculemos entradas de L L^\top:
(LL^\top)_{11}=2^2=4,
(LL^\top)_{12}=2\cdot1=2,
(LL^\top)_{13}=2\cdot7=14,
(LL^\top)_{22}=1^2+4^2=1+16=17,
(LL^\top)_{23}=1\cdot7+4\cdot(-3)=7-12=-5,
(LL^\top)_{33}=7^2+(-3)^2+5^2=49+9+25=83.
Esses valores batem exatamente com os correspondentes em A, portanto L L^\top = A. Isso confirma a afirmação b como verdadeira.]

Passo 8

Concluindo sobre positiva-definitude (explicação didática e aplicação). Como encontramos uma decomposição L L^\top = A com os elementos diagonais \ell_{11},\ell_{22},\ell_{33} todos positivos ( 2,4,5), isso já implica que A é definida positiva (uma propriedade: se existe Cholesky com diagonais positivas, então A é simétrica definida positiva). Alternativamente, podemos usar o critério de Sylvester: os menores principais são \det([4])=4>0, \det\begin{pmatrix}4&2\\[2pt]2&17\end{pmatrix}=4\cdot17-2\cdot2=68-4=64>0 e o determinante total ainda veremos no próximo passo — todos positivos, logo A é definida positiva. Assim a afirmação a é verdadeira.]

Passo 9

Determinante e relação com L (didática). Para qualquer matriz triangular L, \det(L) é o produto das entradas da diagonal. Como \det(A)=\det(L L^\top)=\det(L)\det(L^\top)=\det(L)^2 (pois \det(L^\top)=\det(L)), temos
\det(A)=\bigl(\ell_{11}\ell_{22}\ell_{33}\bigr)^2.
No nosso caso \ell_{11}=2,\\ \ell_{22}=4,\\ \ell_{33}=5, então
\ell_{11}\ell_{22}\ell_{33}=2\cdot4\cdot5=40
e
\det(A)=40^2=1600.
Portanto a afirmação c também é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeiro
b) Verdadeiro
c) Verdadeiro

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