Seja a função f definida por
f(x, y, z)=xx^2+y^2+z^2
Verifique que
x partialpartial x f(x, y, z)+y partialpartial y f(x, y, z)+z partialpartial z f(x, y, z)=-f(x, y, z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x, y, z) = xx^2 + y^2 + z^2 . A questão pede pra gente verificar se x partial fpartial x + y partial fpartial y + z partial fpartial z = -f(x, y, z) . Isso envolve derivadas parciais em relação a cada variável e depois combinar tudo. Vamos precisar saber como calcular derivadas parciais de funções com várias variáveis e usar essas derivadas pra verificar a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x . A função f é uma fração, então vamos usar a regra do quociente. A regra diz que se f = uv , então f' = u'v - uv'v^2 .
Aqui, u = x e v = x^2 + y^2 + z^2 . Derivando:
  • u' = 1
  • v' = 2x
Então,
partial fpartial x = 1 cdot (x^2 + y^2 + z^2) - x cdot 2x(x^2 + y^2 + z^2)^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2x^2(x^2 + y^2 + z^2)^2 = -x^2 + y^2 + z^2(x^2 + y^2 + z^2)^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , partial fpartial y . Novamente, usando a regra do quociente:
  • u = x , então u' = 0 (porque x não depende de y )
  • v = x^2 + y^2 + z^2 , então v' = 2y
Então,
partial fpartial y = 0 cdot (x^2 + y^2 + z^2) - x cdot 2y(x^2 + y^2 + z^2)^2 = -2xy(x^2 + y^2 + z^2)^2

Passo 4

De forma semelhante, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a z , partial fpartial z :
  • u = x , então u' = 0
  • v = x^2 + y^2 + z^2 , então v' = 2z
Então,
partial fpartial z = 0 cdot (x^2 + y^2 + z^2) - x cdot 2z(x^2 + y^2 + z^2)^2 = -2xz(x^2 + y^2 + z^2)^2

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos multiplicar cada uma pela respectiva variável e somar:
x partial fpartial x = x cdot -x^2 + y^2 + z^2(x^2 + y^2 + z^2)^2 = -x^3 + x y^2 + x z^2(x^2 + y^2 + z^2)^2
y partial fpartial y = y cdot -2xy(x^2 + y^2 + z^2)^2 = -2x y^2(x^2 + y^2 + z^2)^2
z partial fpartial z = z cdot -2xz(x^2 + y^2 + z^2)^2 = -2x z^2(x^2 + y^2 + z^2)^2
Somando tudo:
-x^3 + x y^2 + x z^2(x^2 + y^2 + z^2)^2 + -2x y^2(x^2 + y^2 + z^2)^2 + -2x z^2(x^2 + y^2 + z^2)^2 = -x^3 - x y^2 - x z^2(x^2 + y^2 + z^2)^2

Passo 6

Observando o resultado acima, podemos fatorar -x no numerador:
-x(x^2 + y^2 + z^2)(x^2 + y^2 + z^2)^2 = -xx^2 + y^2 + z^2 = -f(x, y, z)

Resposta

Portanto, x partial fpartial x + y partial fpartial y + z partial fpartial z = -f(x, y, z) , conforme queríamos verificar.

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