Seja a função
definida por
Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
. A questão pede pra gente verificar se
. Isso envolve derivadas parciais em relação a cada variável e depois combinar tudo. Vamos precisar saber como calcular derivadas parciais de funções com várias variáveis e usar essas derivadas pra verificar a igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
é uma fração, então vamos usar a regra do quociente. A regra diz que se
, então
.
Aqui,
e
. Derivando:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Novamente, usando a regra do quociente:
-
, então (porque não depende de ) -
, então
Então,
Passo 4
De forma semelhante, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
:
-
, então -
, então
Então,
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, vamos multiplicar cada uma pela respectiva variável e somar:
Somando tudo:
Passo 6
Observando o resultado acima, podemos fatorar
no numerador:
Resposta
Portanto,
, conforme queríamos verificar.