Seja a função
f(x)=cc tan 3 xx, & x<0 a x+b, & 0 <= x<2 x^2-4x^3-8, & x >= 2
Determine os valores de a e b para que f seja contínua em todo o seu domínio.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= dfractan(3x)x, & x<0,[6pt] a x+b, & 0<= x<2,[4pt] dfracx^2-4x^3-8, & x>=2,
e pede os valores de a e b para que f seja contínua em todo o domínio.
Para isso vamos usar que em cada ponto de fronteira (aqui x=0 e x=2) a condição de continuidade é
limxto c^-f(x)=f(c)=limxto c^+f(x)
]

Passo 2

Para x=0:
  • A seguir pela esquerda temos
limxto0^-tan(3x)x =limxto0^-3x+o(x)x=3
  • Pela definição de f para 0<= x<2, f(0)=acdot0+b=b.
    Igualando, b=3.

Passo 3

Para x=2:
  • Pela esquerda, em 0<= x<2,
limxto2^-f(x)=limxto2^-(a x+b)=2a+b
  • Pela direita, em x>=2, note que
x^2-4x^3-8 =(x-2)(x+2)(x-2)(x^2+2x+4) =x+2x^2+2x+4,
então
limxto2^+x^2-4x^3-8 =2+22^2+2cdot2+4 =412=13
Para continuidade em x=2 igualamos
2a+b=13
Como já achamos b=3, vem
2a+3=13 Longrightarrow 2a=13-3=-83 Longrightarrow a=-43

Resposta

a=-tfrac43, b=3.

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