Sejam f(x)=||x|+x+14| e g(x)=x^2-9.
Determine f circ g(x);

Passo 1

Temos as funções f(x) = ||x| + x + 14| e g(x) = x^2 - 9 e queremos calcular (f ∘ g)(x) = f(g(x)). O conteúdo aqui envolve composição de funções e uso de valor absoluto, então vamos precisar lembrar como tratar valor absoluto em forma de casos.

Passo 2

Primeiro substituímos g(x) em f(x). Assim,
f(g(x)) = llvert;|g(x)| + g(x) + 14rrvert = llvert;|x^2 - 9| + (x^2 - 9) + 14rrvert = llvert;|x^2 - 9| + x^2 + 5rrvert

Passo 3

Agora precisamos eliminar o valor absoluto interno |x^2 - 9|. Para isso, analisamos o sinal de x^2 - 9:
  • Se x^2 - 9 ≥ 0 (ou seja, |x| ≥ 3), então |x^2 - 9| = x^2 - 9.
  • Se x^2 - 9 < 0 (ou seja, |x| < 3), então |x^2 - 9| = 9 - x^2.

Passo 4

Para |x| ≥ 3 substituímos |x^2 - 9| = x^2 - 9 na expressão interna:
|x^2 - 9| + x^2 + 5 = (x^2 - 9) + x^2 + 5 = 2x^2 - 4
Como 2x^2 - 4 ≥ 0 nessa região, temos
f(g(x)) = |2x^2 - 4| = 2x^2 - 4 para |x| >= 3

Passo 5

Para |x| < 3 substituímos |x^2 - 9| = 9 - x^2 na expressão interna:
|x^2 - 9| + x^2 + 5 = (9 - x^2) + x^2 + 5 = 14
E como 14 > 0,
f(g(x)) = |14| = 14 para |x| < 3

Passo 6

Reunindo os dois casos, obtemos a forma final de f ∘ g.

Resposta

f(g(x)) = 2x^2 - 4, & |x| >= 3, 14, & |x| < 3

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