Seja R=R(u, v, w) uma função diferenciável, em que u=u(x, y), v=v(x, y) e w=w(x, y) são também funções diferenciáveis.
Escreva a Regra da Cadeia para as derivadas parciais partial Rpartial x e partial Rpartial y.

Passo 1

O enunciado define R=R(u,v,w) diferenciável em que
u = u(x,y), v=v(x,y), w=w(x,y)
são funções diferenciáveis de (x,y). O conteúdo aqui é a Regra da Cadeia para derivadas parciais de uma função composta de três variáveis intermediárias.

Passo 2

Para aplicar a Regra da Cadeia, começamos escrevendo o diferencial total de R em função de u,v,w. Como R é diferenciável, vale
dR = partial Rpartial u,du + partial Rpartial v,dv + partial Rpartial w,dw
Aqui partial R/partial u, partial R/partial v e partial R/partial w são avaliadas em l(u(x,y),v(x,y),w(x,y)r).

Passo 3

Agora expressamos du, dv e dw em termos de dx e dy. Como u, v e w são diferenciáveis,
du = partial upartial x,dx + partial upartial y,dy, dv = partial vpartial x,dx + partial vpartial y,dy, dw = partial wpartial x,dx + partial wpartial y,dy
Substituindo em dR e agrupando termos em dx e dy, obtemos
dR = l(partial Rpartial u,partial upartial x +partial Rpartial v,partial vpartial x +partial Rpartial w,partial wpartial xr)dx + l(partial Rpartial u,partial upartial y +partial Rpartial v,partial vpartial y +partial Rpartial w,partial wpartial yr)dy

Passo 4

Como definição de derivada parcial mantém uma das variáveis fixas, identificamos:
partial Rpartial x =dRdx|dy=0 =partial Rpartial u,partial upartial x +partial Rpartial v,partial vpartial x +partial Rpartial w,partial wpartial x,
partial Rpartial y =dRdy|dx=0 =partial Rpartial u,partial upartial y +partial Rpartial v,partial vpartial y +partial Rpartial w,partial wpartial y

Resposta

boxed partial Rpartial x =partial Rpartial u,partial upartial x +partial Rpartial v,partial vpartial x +partial Rpartial w,partial wpartial x,
boxed partial Rpartial y =partial Rpartial u,partial upartial y +partial Rpartial v,partial vpartial y +partial Rpartial w,partial wpartial y

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