Seja
uma função diferenciável, em que
e
são também funções diferenciáveis.
Escreva a Regra da Cadeia para as derivadas parciais
e
.
Escreva a Regra da Cadeia para as derivadas parciais
Passo 1
O enunciado define
diferenciável em que
são funções diferenciáveis de
. O conteúdo aqui é a Regra da Cadeia para derivadas parciais de uma função composta de três variáveis intermediárias.
Passo 2
Para aplicar a Regra da Cadeia, começamos escrevendo o diferencial total de
em função de
. Como
é diferenciável, vale
Aqui
,
e
são avaliadas em
.
Passo 3
Agora expressamos
,
e
em termos de
e
. Como
,
e
são diferenciáveis,
Substituindo em
e agrupando termos em
e
, obtemos
Passo 4
Como definição de derivada parcial mantém uma das variáveis fixas, identificamos: