Seja R=R(u, v, w) uma função diferenciável, em que u=u(x, y, z), v=v(x, y, z) e w=w(x, y, z) são também funções diferenciáveis.
Seja R(u, v, w)=uu^2+v^2+w^2, em que u=x+y+z, v=2 x+2 y+2 z e w=x+y^2+z^3. Utilize a Regra da Cadeia encontrada no item (a) para determinar partial Rpartial x e partial Rpartial y quando x=1, y=2 e z=0.

Passo 1

O enunciado diz que temos
R(u,v,w)=uu^2+v^2+w^2, u=x+y+z,; v=2x+2y+2z,; w=x+y^2+z^3,
e pede partial Rpartial x e partial Rpartial y em (x,y,z)=(1,2,0). Vamos usar a regra da cadeia:
partial Rpartial x =Ru,ux+Rv,vx+Rw,wx, partial Rpartial y =Ru,uy+Rv,vy+Rw,wy

Passo 2

Defina D=u^2+v^2+w^2. Calculamos
Ru=partialpartial ul(uDr) =D-2u^2D^2, Rv=-2u,vD^2, Rw=-2u,wD^2

Passo 3

As derivadas de u,v,w em relação a x e y são
ux=1,;vx=2,;wx=1, uy=1,;vy=2,;wy=2y

Passo 4

Em (x,y,z)=(1,2,0) obtém-se
u=3, v=6, w=5, D=3^2+6^2+5^2=70
Logo
Ru=70-2cdot3^270^2=524900=131225, Rv=-2cdot3cdot64900=-91225, Rw=-2cdot3cdot54900=-3490

Passo 5

Substituindo em
partial Rpartial x=Ru ux+Rv vx+Rw wx
partial Rpartial x =131225+2l(-91225r)+l(-3490r) =-198
Em
partial Rpartial y=Ru uy+Rv vy+Rw wy (com wy=4) dá
partial Rpartial y =131225+2l(-91225r)+4l(-3490r) =-135

Resposta

partial Rpartial xl|(1,2,0)=-198, partial Rpartial yl|(1,2,0)=-135

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