Seja R=R(u, v, w) uma função diferenciável, em que u=u(x, y, z), v=v(x, y, z) e w=w(x, y, z) são também funções diferenciáveis.
Escreva a Regra da Cadeia para as derivadas parciais partial Rpartial x, partial Rpartial y e partial Rpartial z.

Passo 1

O enunciado define uma função composta
R = Rl(u(x,y,z),,v(x,y,z),,w(x,y,z)r)
e pede as derivadas parciais partial Rpartial x, partial Rpartial y e partial Rpartial z.
O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis: precisamos das derivadas parciais de R em relação a u,v,w e das derivadas parciais de u,v,w em relação a x,y,z.

Passo 2

Para partial Rpartial x aplicamos a regra da cadeia somando as contribuições de cada variável intermediária:
partial Rpartial x = partial Rpartial u,partial upartial x + partial Rpartial v,partial vpartial x + partial Rpartial w,partial wpartial x

Passo 3

De modo análogo, para partial Rpartial y temos:
partial Rpartial y = partial Rpartial u,partial upartial y + partial Rpartial v,partial vpartial y + partial Rpartial w,partial wpartial y

Passo 4

E, finalmente, para partial Rpartial z obtemos:
partial Rpartial z = partial Rpartial u,partial upartial z + partial Rpartial v,partial vpartial z + partial Rpartial w,partial wpartial z

Resposta

partial Rpartial x = partial Rpartial u,partial upartial x + partial Rpartial v,partial vpartial x + partial Rpartial w,partial wpartial x,
partial Rpartial y = partial Rpartial u,partial upartial y + partial Rpartial v,partial vpartial y + partial Rpartial w,partial wpartial y,
partial Rpartial z = partial Rpartial u,partial upartial z + partial Rpartial v,partial vpartial z + partial Rpartial w,partial wpartial z

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