Seja
uma função duas vezes diferenciável. Prove que se
é definida por
, então
;
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
duas vezes diferenciável e definimos
Precisamos mostrar que a partir daí vale a igualdade
O que vamos usar é a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Calculemos a derivada parcial de
em relação a
. Defina a função interna
Pela regra da cadeia,
Passo 3
De modo análogo, para a derivada parcial de
em relação a
temos
Passo 4
Agora basta comparar
e
:
Como ambos dão o mesmo valor, concluímos que
Resposta
Foi demonstrado que
.