Seja f: R R uma função duas vezes diferenciável. Prove que se F: R^2 R é definida por
F(x, y)=f(x^2+y^2), então y Fx=x Fy;

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f:RtoR duas vezes diferenciável e definimos
F(x,y)=fl(x^2+y^2r)
Precisamos mostrar que a partir daí vale a igualdade
y,Fx(x,y)=x,Fy(x,y)
O que vamos usar é a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Calculemos a derivada parcial de F em relação a x. Defina a função interna
u(x,y)=x^2+y^2
Pela regra da cadeia,
Fx(x,y)=partialpartial xfl(u(x,y)r) =f'l(u(x,y)r),partial upartial x =f'l(x^2+y^2r)cdot 2x

Passo 3

De modo análogo, para a derivada parcial de F em relação a y temos
Fy(x,y) =f'l(u(x,y)r),partial upartial y =f'l(x^2+y^2r)cdot 2y

Passo 4

Agora basta comparar y,Fx e x,Fy:
y,Fx(x,y) =yl[2x,f'(x^2+y^2)r] =2xy,f'(x^2+y^2),
x,Fy(x,y) =xl[2y,f'(x^2+y^2)r] =2xy,f'(x^2+y^2)
Como ambos dão o mesmo valor, concluímos que
y,Fx(x,y)=x,Fy(x,y) para todo (x,y)inR^2

Resposta

Foi demonstrado que y,Fx = x,Fy.

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