Seja a função energia potencial numa reta dada por U(x)=x^3-3 x^2-13 x+15, encontre os pontos de equilíbrio na reta e classifique-os como instáveis ou estáveis.

Passo 1

O enunciado nos dá a energia potencial numa reta
U(x)=x^3-3x^2-13x+15
e pede para encontrar os pontos de equilíbrio e classificá-los.
Conteúdo: equilíbrio estático em mecânica clássica.
O ponto de equilíbrio satisfaz
F(x)=-U'(x)=0Longrightarrow U'(x)=0,
e a estabilidade se decide pelo sinal de U''(x): se U''>0 é estável (mínimo), se U''<0 é instável (máximo).

Passo 2

Calculamos a derivada primeira
U'(x)=3x^2-6x-13
e resolvemos
3x^2-6x-13=0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x=6pmraiz(-6)^2-4cdot3cdot(-13)2cdot3 =6pmraiz36+1566 =6pmraiz1926 =6pm8raiz36 =1pm4raiz33

Passo 3

Agora a segunda derivada
U''(x)=6x-6
Para x1=1+tfrac4raiz33:
U''(x1)=6l(1+tfrac4raiz33r)-6 =6+8raiz3-6 =8raiz3>0,
logo é mínimo de U (equilíbrio estável).
Para x2=1-tfrac4raiz33:
U''(x2)=6l(1-tfrac4raiz33r)-6 =6-8raiz3-6 =-8raiz3<0,
logo é máximo de U (equilíbrio instável).

Resposta

Os pontos de equilíbrio são
x=1+4raiz33(estável) á
e
x=1-4raiz33(instável) á

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