Seja a função
. Determinar o intervalo que contém a maior raiz negativa de
. Partindo deste intervalo, determinar manualmente o valor aproximado desta raiz após 6 iterações do método Regula Falsi.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
- Enunciado: a função é
. - O que se pede:
- Determinar um intervalo que contenha a maior raiz negativa de
. - Partindo desse intervalo, aplicar manualmente o método Regula Falsi e obter a aproximação da raiz após 6 iterações.
- Determinar um intervalo que contenha a maior raiz negativa de
- Informações úteis que já posso usar imediatamente:
-
(positivo). - Para testar sinais em outros pontos posso avaliar
direto usando e a fórmula .
-
Passo 2
Encontrar um intervalo
com
(ou ambos negativos, mas com sinais opostos) tal que
e que contenha a maior raiz negativa (isto é, a raiz negativa mais próxima de zero).
-
Avalio alguns pontos negativos próximos de zero:
-
. Usando , obtemos logo negativo. -
. Como , também negativo. -
. Como , que é positivo.
-
-
Como
e , existe pelo menos uma raiz em . Testando um ponto intermediário para enxugar o intervalo: -
. Com , negativo. - Já sabemos
.
-
-
Portanto um bom intervalo relativamente estreito que contém a maior raiz negativa é
, porque em temos e em temos . Vou partir desse intervalo para aplicar o Regula Falsi.
Passo 3
Explicar o método Regula Falsi (falsa posição) de forma didática e aplicar a primeira iteração.
-
Ideia do método: dado um intervalo
com e de sinais opostos, a reta que liga os pontos e corta o eixo em um ponto . Esse é uma aproximação da raiz. A fórmula da posição falsa é que é equivalente aDepois de calcular, escolhe-se o subintervalo ou onde ocorre a troca de sinal (substitui-se o extremo cujo valor de tem o mesmo sinal de ). Repetir gera sequências de aproximações. -
Começo com
, . - Já calculei:
- Já calculei:
-
Iteração 1: calcular
por Regula Falsi usando a fórmula Substituindo os números:
então o numerador é
O denominador é
Portanto
- Avalio
. Para : -
pode ser aproximado por série ou tabela; usando expansão reduzida obtém-se . Então Calculando:
-
ou seja, \(f(c_{1})\) é ligeiramente negativo.
- Como
e , a raiz está no intervalo . Portanto para a próxima iteração substituímos e deixamos .
Passo 4
Iterações 2 e 3 do Regula Falsi (mostrar cálculos passo a passo, mantendo o processo didático).
-
Estado após iteração 1:
-
Iteração 2: calcular
por Computos:
numerador
.
Denominador .
Logo
Denominador
Logo
Avaliação de
: com
,
Ainda negativo, então a raiz está em
. Atualizo
,
.
- Iteração 3:
Calculo
numerador
.
Denominador .
Assim
Denominador
Assim
Avaliação de
: com
,
Ainda negativo, portanto a raiz segue em
. Atualizo
,
.
Passo 5
Iterações 4, 5 e 6 do Regula Falsi (continuar mostrando os cálculos aproximados).
-
Estado atual:
-
Iteração 4:
numerador
.
Denominador .
Logo
Denominador
Logo
Avaliação:
ainda negativo. Atualizo
,
.
- Iteração 5:
Calculo
numerador
.
Denominador .
Assim
Denominador
Assim
Avaliação:
ainda negativo. Atualizo
,
.
- Iteração 6:
Calculo
numerador
.
Denominador .
Logo
Denominador
Logo
Avaliando
obtemos um valor muito próximo de zero (da ordem de
a
, negativo), indicando que já estamos bem próximos da raiz.
Observação didática: as avaliações de
e das multiplicações foram feitas por aproximação (expansões em série ou valores tabelados) e arredondadas em cada passo; isso é perfeitamente aceitável num cálculo manual de aproximação em prova. O Regula Falsi tende a «puxar» o extremo cuja função tem sinal maior, e neste caso o extremo à direita
manteve-se, enquanto o extremo esquerdo foi se aproximando para a raiz.