Seja a função no intervalo e considere o problema de se calcular uma aproximação para .
(d) Determine um limitante superior para o erro cometido ao se aproximar pelo polinomio de Taylor no ponto . Lembre-se que o limitante superior do erro para é dado por
onde .
Passo 1
Beleza, o enunciado é o seguinte: a gente tem a função
f(x)=ln(x)
no intervalo R3(x)=f(x)-P3(x) e quer aproximar |Rn(x)|<= Mn+1,|x-a|^n+1(n+1)!, usando o polinômio de Taylor de grau 3 centrado em Mn+1=maxtin[a,x]|f^(n+1)(t)| . Na parte (d) o objetivo é encontrar um limitante superior para o erro
usando a fórmula do resto de Lagrange:
onde
Conteúdo: séries de Taylor, derivadas de e o resto de Lagrange. Vamos precisar das derivadas até a 4ª de e depois achar o .
Passo 2
Primeiro, relembrando a fórmula do resto de Lagrange para |R3(1.5)|<= M4,|1.5-1|^44! e ponto e :
Aqui temos:
.
.
.
Só falta achar .
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas de l|f^(4)(x)r|=6x^4 :
M4 = maxtin[1,1.5]6t^4 = 61^4 = 6
.
Em valor absoluto:
No intervalo , essa função é decrescente (quanto maior , menor o valor). Então o máximo ocorre em :