Seja a função f(x)=ln (x) no intervalo I=[1,2] e considere o problema de se calcular uma aproximação para ln (1.5).
(d) Determine um limitante superior para o erro cometido ao se aproximar f(x) pelo polinomio de Taylor P3(x) no ponto x=1.5. Lembre-se que o limitante superior do erro para Pn(x) é dado por
|Rn(x)| <= Mn+1 |x-a|^n+1(n+1)!
onde Mn+1=max t in[a, x]|f^(n+1)(t)|.

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: a gente tem a função
f(x)=ln(x)
no intervalo R3(x)=f(x)-P3(x) e quer aproximar |Rn(x)|<= Mn+1,|x-a|^n+1(n+1)!, usando o polinômio de Taylor de grau 3 centrado em Mn+1=maxtin[a,x]|f^(n+1)(t)| . Na parte (d) o objetivo é encontrar um limitante superior para o erro
usando a fórmula do resto de Lagrange:
onde
Conteúdo: séries de Taylor, derivadas de e o resto de Lagrange. Vamos precisar das derivadas até a 4ª de e depois achar o .

Passo 2

Primeiro, relembrando a fórmula do resto de Lagrange para |R3(1.5)|<= M4,|1.5-1|^44! e ponto e :
Aqui temos:
  • .
  • .
  • .
    Só falta achar .

Passo 3

Vamos calcular as primeiras derivadas de l|f^(4)(x)r|=6x^4 :
  1. M4 = maxtin[1,1.5]6t^4 = 61^4 = 6
  2. .
Em valor absoluto:
No intervalo , essa função é decrescente (quanto maior , menor o valor). Então o máximo ocorre em :

Passo 4

Substituindo em
|R3(1.5)|<= M4,(0.5)^44!,
tornando-se
|R3(1.5)|<= 6 ;(0.5)^424 = 6;0.5^424 = 6;0.062524 = 0.37524 = 0.015625

Resposta

Um limitante superior para o erro ao aproximar |R3(1.5)| <= 0.015625 por é

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