Seja a função f(x)=ln (x) no intervalo I=[1,2] e considere o problema de se calcular uma aproximação para ln (1.5).
© Qual o erro relativo cometido pela aproximação com o polinômio de Taylor?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a função

no intervalo e, usando o polinômio de Taylor centrado em , já fizemos (parte b) a aproximação de . Agora, na parte ©, querem o erro relativo dessa aproximação.
Conteúdo: séries de Taylor e definição de erro relativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de erro relativo. Se ER=|tilde f - ff|, é a aproximação de , o erro relativo é
Então precisamos do valor aproximado polinômio de Taylor em e do valor exato .

Passo 3

O polinômio de Taylor de ordem 2 para T2(x)= (x-1) - (x-1)^22, em torno de T2(1.5)= (1.5-1) - (1.5-1)^22 = 0.5 - 0.5^22 = 0.5 - 0.252 = 0.5 - 0.125 = 0.375, é
Logo, em :

Passo 4

O valor exato é
ln(1.5)approx 0.4054651,
Logo o erro absoluto é
|T2(1.5)-ln(1.5)| = |0.375 - 0.4054651|approx 0.0304651,

Passo 5

Agora o erro relativo:
ER = 0.03046510.4054651 approx 0.07514 (approx7.514%)

Resposta

O erro relativo da aproximação de boxed0.0751 (ou 7.51%) pelo polinômio de Taylor de grau 2 é aproximadamente

Exercícios relacionados