Seja a função
no intervalo
e considere o problema de se calcular uma aproximação para
.
© Qual o erro relativo cometido pela aproximação com o polinômio de Taylor?
© Qual o erro relativo cometido pela aproximação com o polinômio de Taylor?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem a função
no intervalo e, usando o polinômio de Taylor centrado em
, já fizemos (parte b) a aproximação de
. Agora, na parte ©, querem o erro relativo dessa aproximação.
Conteúdo: séries de Taylor e definição de erro relativo.
no intervalo
Conteúdo: séries de Taylor e definição de erro relativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de erro relativo. Se
é a aproximação de
, o erro relativo é
Então precisamos do valor aproximado
polinômio de Taylor em
e do valor exato
.
Passo 3
O polinômio de Taylor de ordem 2 para
T2(x)= (x-1) - (x-1)^22, em torno de
T2(1.5)= (1.5-1) - (1.5-1)^22 = 0.5 - 0.5^22 = 0.5 - 0.252 = 0.5 - 0.125 = 0.375, é
Logo, em
:
Passo 4
O valor exato é
Logo o erro absoluto é
Passo 5
Agora o erro relativo:
Resposta
O erro relativo da aproximação de
boxed0.0751 (ou 7.51%) pelo polinômio de Taylor de grau 2 é aproximadamente