Seja a função f(x)=ln (x) no intervalo I=[1,2] e considere o problema de se calcular uma aproximação para ln (1.5).
(b) Qual o valor aproximado de f(1.5) ?

Passo 1

O enunciado diz: “Temos a função em e queremos uma aproximação de .”
Estamos numa matéria de Cálculo, tópico de séries de Taylor (ou Maclaurin) e aproximações pelo desenvolvimento em potências. Para resolver, vamos usar a expansão em série de em torno de .

Passo 2

Teoria: se uma função é “bonitinha” (diferenciável várias vezes) perto de ln(1+x)=x ;-;x^22;+;x^33;-;x^44;+;x^55;-;cdots , ela pode ser escrita como soma infinita de potências de . No caso do logaritmo temos a Série de Maclaurin válida para :
Essa série converge lentamente, mas basta cortar num número razoável de termos pra ter uma boa aproximação.

Passo 3

Queremos ln(1.5) =0.5 ;-;0.5^22 ;+;0.5^33 ;-;0.5^44 ;+;0.5^55 , logo tomamos . Vamos calcular até o quinto termo:
Agora, cada parcela:
0.5 = 0.5000000



Passo 4

Somando passo a passo:
0.5000000
− 0.1250000 → 0.3750000
  • 0.0416667 → 0.4166667
    − 0.0156250 → 0.4010417
  • 0.0062500 → 0.4072917
Isso já está bem pertinho do valor exato ( ). Se quiser reduzir ainda mais o erro, é só acrescentar mais termos da série.

Resposta

boxedln(1.5)approx 0.4073

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