Seja a função
no intervalo
e considere o problema de se calcular uma aproximação para
.
(b) Qual o valor aproximado de
?
(b) Qual o valor aproximado de
Passo 1
O enunciado diz: “Temos a função
em
e queremos uma aproximação de
.”
Estamos numa matéria de Cálculo, tópico de séries de Taylor (ou Maclaurin) e aproximações pelo desenvolvimento em potências. Para resolver, vamos usar a expansão em série de em torno de
.
Estamos numa matéria de Cálculo, tópico de séries de Taylor (ou Maclaurin) e aproximações pelo desenvolvimento em potências. Para resolver, vamos usar a expansão em série de
Passo 2
Teoria: se uma função é “bonitinha” (diferenciável várias vezes) perto de
, ela pode ser escrita como soma infinita de potências de
. No caso do logaritmo temos a Série de Maclaurin válida para
:
Essa série converge lentamente, mas basta cortar num número razoável de termos pra ter uma boa aproximação.
Passo 3
Queremos
, logo tomamos
. Vamos calcular até o quinto termo:
Agora, cada parcela:
0.5 = 0.5000000
0.5 = 0.5000000
Passo 4
Somando passo a passo:
0.5000000
− 0.1250000 → 0.3750000
0.5000000
− 0.1250000 → 0.3750000
- 0.0416667 → 0.4166667
− 0.0156250 → 0.4010417 - 0.0062500 → 0.4072917
Isso já está bem pertinho do valor exato (
). Se quiser reduzir ainda mais o erro, é só acrescentar mais termos da série.