Seja a função
f(x)=raizx cdot(x-1)|x-1|
Determine o domínio e faça o esboço do gráfico de f;

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar o domínio e esboçar o gráfico da função f(x)=raizx,(x-1)|x-1|. Isso envolve entender as restrições da raiz e do denominador, além de manipular valor absoluto para reescrever a função em partes.

Passo 2

Para achar o domínio, observe duas coisas: a raiz raizx exige x>=0 e o denominador |x-1| não pode ser zero, ou seja, xneq1. Assim o domínio é
[0,infty)setminus1

Passo 3

Para poder desenhar o gráfico, precisamos eliminar o valor absoluto. Note que
|x-1|=x-1,&x>1,1-x,&x<1
Logo reescrevendo f(x) em cada intervalo:
f(x)=raizx,(x-1)|x-1|= raizx,(x-1)1-x=-raizx,&0<= x<1, raizx,(x-1)x-1=raizx,&x>1

Passo 4

Vamos ver o comportamento nos pontos-chave. Em x=0 temos f(0)=0. Quando xto1^-, f(x)=-raizxto-1, mas f(1) não existe. Quando xto1^+, f(x)=raizxto1, sem valor definido em x=1.
O esboço do gráfico fica com dois ramos: de 0 a 1 a curva de f(x)=-raizx, partindo de (0,0) até aproximar (1,-1) (círculo aberto); e para x>1 a curva de f(x)=raizx, começando perto de (1,1) (círculo aberto) e subindo suavemente.

Resposta

Domínio: [0,infty)setminus1. O gráfico é formado pelo ramo f(x)=-raizx em [0,1) (de (0,0) até aproximar (1,-1), com círculo aberto em x=1) e pelo ramo f(x)=raizx em (1,infty) (começando perto de (1,1) com círculo aberto e subindo).

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