Seja a função
. Utilize os métodos da bissecção e de Newton-Raphson para achar uma aproximação do valor de
para o qual
. Considere uma aproximação com erro na ordem dos décimos de milésimos.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre um valor
tal que
Isso é equivalente a achar a raiz da função
isto é, resolver
.
Informações úteis fornecidas (já organizadas):
- A equação que queremos resolver é
. - A precisão desejada é da ordem de décimos de milésimos, isto é, aproximadamente
. - Vou aplicar os dois métodos pedidos: (i) método da bissecção e (ii) método de Newton–Raphson, e mostrar passo a passo como cada um funciona e como parar quando atingirmos a precisão exigida.
Passo 2
Breve explicação do método da bissecção (aula rápida e prática).
- Ideia: encontrar um intervalo
com (ou seja, muda de sinal) garante, por continuidade, a existência de uma raiz em . - No método, tomamos o ponto médio
e avaliamos . Se paramos; se tem mesmo sinal que substituímos , caso contrário substituímos . Repetimos até que o intervalo seja suficientemente pequeno. - Critério de parada prático: depois de
iterações o tamanho do intervalo é ; assim podemos escolher tal que .
Agora vamos achar um intervalo inicial:
- Calculamos
:
- Calculamos
:
Logo
e
, então existe pelo menos uma raiz em
. Este é o nosso intervalo inicial
. O comprimento inicial é
.
Estimativa do número de iterações necessárias:
- Queremos
. Como , precisamos de , ou seja . Portanto iterações são suficientes para garantir erro menor que .
Agora executamos as iterações da bissecção (só mostro as iterações necessárias; em cada linha aparece o intervalo atual, o ponto médio e o sinal de
no médio):
-
.
. Substituo . -
.
. Substituo . -
.
. Substituo . -
.
. Substituo . -
.
. Substituo . -
.
. Substituo . -
.
. Substituo . -
.
. Substituo . -
.
. Substituo . -
.
. Substituo . -
.
. Substituo . -
.
. Substituo . -
.
. Substituo . -
.
Neste ponto o tamanho do intervalo é, logo o erro máximo (metade do intervalo) é portanto a aproximação pelo método da bissecção com erro menor queé Para a prova, podemos reportar este valor arredondado a 5 ou 6 casas decimais:(erro garantido ).
Observação prática: esse procedimento foi direto e robusto — bissecção sempre converge, e aqui levou as
iterações previstas.
Passo 3
Breve explicação do método de Newton–Raphson (aula rápida e prática).
- Ideia: se
é diferenciável e é uma aproximação, a reta tangente em cruza o eixo em
onde
é a derivada de
.
- No nosso caso,
- Newton costuma convergir muito rápido (quadraticamente) quando a aproximação inicial está razoavelmente próxima da raiz. Uma boa escolha inicial é o resultado da bissecção obtido antes.
Aplicando Newton–Raphson com inicial
(o ponto médio obtido pela bissecção):
1ª iteração:
- Calcular
e . Usando as avaliações aproximadas já obtidas: - Aplicar a fórmula:
Note que o ajuste foi da ordem de .
2ª iteração (checagem):
- Avaliando
em , o valor de fica muito pequeno (na casa de a ), e a correção numa 2ª iteração seria insignificante comparada ao critério . Ou seja, já atingimos a precisão desejada. - Portanto a aproximação por Newton–Raphson é
Comentário amigável: Newton foi super rápido — uma única iteração a partir de uma boa inicial deu a precisão requerida. A bissecção deu uma aproximação segura (garantia de erro) e Newton refinou muito rápido.