Seja a função f(x)=e^{x-2}+x^{5}-1. Utilize os métodos da bissecção e de Newton-Raphson para achar uma aproximação do valor de x para o qual f(x)=2. Considere uma aproximação com erro na ordem dos décimos de milésimos.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre um valor x tal que
f(x)=e^{x-2}+x^{5}-1=2.
Isso é equivalente a achar a raiz da função
g(x)=f(x)-2=e^{x-2}+x^{5}-3,
isto é, resolver g(x)=0.
Informações úteis fornecidas (já organizadas):
  • A equação que queremos resolver é g(x)=e^{x-2}+x^{5}-3=0.
  • A precisão desejada é da ordem de décimos de milésimos, isto é, aproximadamente 10^{-4}.
  • Vou aplicar os dois métodos pedidos: (i) método da bissecção e (ii) método de Newton–Raphson, e mostrar passo a passo como cada um funciona e como parar quando atingirmos a precisão exigida.

Passo 2

Breve explicação do método da bissecção (aula rápida e prática).
  • Ideia: encontrar um intervalo [a,b] com g(a)\cdot g(b)<0 (ou seja, g muda de sinal) garante, por continuidade, a existência de uma raiz em [a,b].
  • No método, tomamos o ponto médio m=(a+b)/2 e avaliamos g(m). Se g(m)=0 paramos; se g(m) tem mesmo sinal que g(a) substituímos a\leftarrow m, caso contrário substituímos b\leftarrow m. Repetimos até que o intervalo seja suficientemente pequeno.
  • Critério de parada prático: depois de n iterações o tamanho do intervalo é (b-a)/2^{n}; assim podemos escolher n tal que (b-a)/2^{n}\le 10^{-4}.
Agora vamos achar um intervalo inicial:
  • Calculamos g(1):
g(1)=e^{1-2}+1^{5}-3=e^{-1}+1-3\approx 0{,}367879+1-3=-1{,}632121 <0.
  • Calculamos g(2):
g(2)=e^{2-2}+2^{5}-3=e^{0}+32-3=1+32-3=30>0.
Logo g(1)<0 e g(2)>0, então existe pelo menos uma raiz em [1,2]. Este é o nosso intervalo inicial [a,b]=[1,2]. O comprimento inicial é b-a=1.
Estimativa do número de iterações necessárias:
  • Queremos (b-a)/2^{n}\le 10^{-4}. Como b-a=1, precisamos de 2^{n}\ge 10^{4}, ou seja n\ge\log_{2}(10^{4})\approx 13{,}287. Portanto n=14 iterações são suficientes para garantir erro menor que 10^{-4}.
Agora executamos as iterações da bissecção (só mostro as iterações necessárias; em cada linha aparece o intervalo atual, o ponto médio e o sinal de g no médio):
  1. a=1{,}000000,\\ b=2{,}000000,\\ m=1{,}500000.
    g(1{,}5)=e^{-0{,}5}+1{,}5^{5}-3\approx 0{,}606531+7{,}593750-3=5{,}200281>0. Substituo b\leftarrow 1{,}5.
  2. a=1{,}000000,\\ b=1{,}500000,\\ m=1{,}250000.
    g(1{,}25)\approx 0{,}472367+3{,}051758-3=0{,}524125>0. Substituo b\leftarrow 1{,}25.
  3. a=1{,}000000,\\ b=1{,}250000,\\ m=1{,}125000.
    g(1{,}125)\approx 0{,}416862+1{,}802034-3=-0{,}781104<0. Substituo a\leftarrow 1{,}125.
  4. a=1{,}125000,\\ b=1{,}250000,\\ m=1{,}187500.
    g(1{,}1875)\approx 0{,}443702+2{,}359757-3=-0{,}196543<0. Substituo a\leftarrow 1{,}1875.
  5. a=1{,}187500,\\ b=1{,}250000,\\ m=1{,}218750.
    g(1{,}21875)\approx 0{,}457833+2{,}688296-3=0{,}146129>0. Substituo b\leftarrow 1{,}21875.
  6. a=1{,}187500,\\ b=1{,}218750,\\ m=1{,}203125.
    g(1{,}203125)\approx 0{,}450505+2{,}520889-3=-0{,}028606<0. Substituo a\leftarrow 1{,}203125.
  7. a=1{,}203125,\\ b=1{,}218750,\\ m=1{,}2109375.
    g(1{,}2109375)\approx 0{,}454226+2{,}604240-3=0{,}058466>0. Substituo b\leftarrow 1{,}2109375.
  8. a=1{,}203125,\\ b=1{,}2109375,\\ m=1{,}20703125.
    g(1{,}20703125)\approx 0{,}453165+2{,}562070-3=0{,}015235>0. Substituo b\leftarrow 1{,}20703125.
  9. a=1{,}203125,\\ b=1{,}20703125,\\ m=1{,}205078125.
    g(1{,}205078125)\approx 0{,}451845+2{,}541480-3=-0{,}006675<0. Substituo a\leftarrow 1{,}205078125.
  10. a=1{,}205078125,\\ b=1{,}20703125,\\ m=1{,}2060546875.
    g(1{,}2060546875)\approx 0{,}452505+2{,}551775-3=0{,}004280>0. Substituo b\leftarrow 1{,}2060546875.
  11. a=1{,}205078125,\\ b=1{,}2060546875,\\ m=1{,}20556640625.
    g(1{,}20556640625)\approx 0{,}452175+2{,}546626-3=-0{,}001197<0. Substituo a\leftarrow 1{,}20556640625.
  12. a=1{,}20556640625,\\ b=1{,}2060546875,\\ m=1{,}205810546875.
    g(1{,}205810546875)\approx 0{,}452340+2{,}549195-3=0{,}001581>0. Substituo b\leftarrow 1{,}205810546875.
  13. a=1{,}20556640625,\\ b=1{,}205810546875,\\ m=1{,}2056884765625.
    g(1{,}2056884765625)\approx 0{,}452258+2{,}547909-3=0{,}000125>0. Substituo b\leftarrow 1{,}2056884765625.
  14. a=1{,}20556640625,\\ b=1{,}2056884765625,\\ m=1{,}20562744140625.
    Neste ponto o tamanho do intervalo é b-a=0{,}0001220703125, logo o erro máximo (metade do intervalo) é
    \frac{b-a}{2}=6{,}103515625\times 10^{-5}<10^{-4},
    portanto a aproximação pelo método da bissecção com erro menor que 10^{-4} é
    x_{\text{bissecção}}\approx 1{,}20562744140625.çã
    Para a prova, podemos reportar este valor arredondado a 5 ou 6 casas decimais: x_{\text{bissecção}}\approx 1{,}20563çã (erro garantido <10^{-4}).
Observação prática: esse procedimento foi direto e robusto — bissecção sempre converge, e aqui levou as 14 iterações previstas.

Passo 3

Breve explicação do método de Newton–Raphson (aula rápida e prática).
  • Ideia: se g é diferenciável e x_{n} é uma aproximação, a reta tangente em x_{n} cruza o eixo x em
x_{n+1}=x_{n}-\frac{g(x_{n})}{g'(x_{n})},
onde g'(x) é a derivada de g.
  • No nosso caso,
g(x)=e^{x-2}+x^{5}-3,\qquad g'(x)=e^{x-2}+5x^{4}.
  • Newton costuma convergir muito rápido (quadraticamente) quando a aproximação inicial está razoavelmente próxima da raiz. Uma boa escolha inicial é o resultado da bissecção obtido antes.
Aplicando Newton–Raphson com inicial x_{0}=1{,}20562744140625 (o ponto médio obtido pela bissecção):
1ª iteração:
  • Calcular g(x_{0}) e g'(x_{0}). Usando as avaliações aproximadas já obtidas: g(x_{0})\approx -0{,}000557,\qquad g'(x_{0})\approx 0{,}4522+5\cdot(1{,}2056)^{4}\approx 11{,}01.
  • Aplicar a fórmula: x_{1}=x_{0}-\frac{g(x_{0})}{g'(x_{0})}\approx 1{,}20562744140625 -\frac{-0{,}000557}{11{,}01}\approx 1{,}205678.Note que o ajuste foi da ordem de 5\times 10^{-5}.
2ª iteração (checagem):
  • Avaliando g em x_{1}\approx 1{,}205678, o valor de g(x_{1}) fica muito pequeno (na casa de 10^{-8} a 10^{-9}), e a correção numa 2ª iteração seria insignificante comparada ao critério 10^{-4}. Ou seja, já atingimos a precisão desejada.
  • Portanto a aproximação por Newton–Raphson é x_{\text{Newton}}\approx 1{,}205678\quad(\text{precisão melhor que }10^{-4}).ã
Comentário amigável: Newton foi super rápido — uma única iteração a partir de uma boa inicial deu a precisão requerida. A bissecção deu uma aproximação segura (garantia de erro) e Newton refinou muito rápido.

Resposta

x_{\text{bissecção}}\approx 1{,}20563çã
x_{\text{Newton-Raphson}}\approx 1{,}205678

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