Use os métodos de Newton-Raphson e da bissecção para achar uma solução para cada uma das equações, com precisão
.
(a)
para
e
.
(b)
para
e
.
(c) Compare os dois métodos. Qual deles se mostrou mais eficiente? Justifique.
(a)
(b)
(c) Compare os dois métodos. Qual deles se mostrou mais eficiente? Justifique.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
-
O enunciado pede: para cada uma das equações, encontrar (uma) solução em cada intervalo fornecido usando
- o método de Newton–Raphson, e
- o método da bissecção,
com precisão.
-
As equações e intervalos são:
(a), nos intervalos e .
(b), nos intervalos e . -
Informação útil (para aplicar os métodos):
- No método da bissecção precisamos de um intervalo
tal que e tenham sinais opostos. A cada iteração reduzimos o intervalo pela metade; se quisermos erro absoluto no ponto médio, devemos iterar até (equivalente a ). - No método de Newton–Raphson usamos a iteração
onde é a derivada. Paramos quando (ou ).
- No método da bissecção precisamos de um intervalo
-
Vou resolver cada caso em passos separados: primeiro verificar sinais nas extremidades, depois aplicar bissecção (mostrar como determinar o número de iterações necessárias e dar o resultado) e Newton–Raphson (mostrar iterações até atingir a precisão). No final comparo os métodos.
Passo 2
(a) Preparação e checagem de sinais para
.
-
Avaliações nas extremidades (pegar valores do enunciado dos intervalos):Logo em
há troca de sinal (há uma raiz). Logo emtambém há troca de sinal (há uma raiz). -
Derivada (vai ser usada no método de Newton):
Passo 3
(a) Método da bissecção em
para
.
-
Comprimento do intervalo inicial:
. -
Número mínimo de iterações para atingir erro absoluto
: Portanto com 16 iterações a meia-intervalo é. -
Demonstração de algumas iterações (mostrando o procedimento; não preciso listar todas 16 iterações numéricas longas):
-
(negativo) ⇒ nova faixa . -
(positivo) ⇒ . -
(positivo) ⇒ . -
(negativo) ⇒ .
… (prosseguir até 16 iterações)
-
-
Depois de 16 iterações obtemos um intervalo com meio
tal que . O valor final (meio do intervalo após 16 iterações) é (Esse valor é o ponto médio do intervalo obtido; a bissecção garante erro absoluto.)
Passo 4
(a) Método de Newton–Raphson para
em
.
-
Fórmula da iteração:Escolho
como o ponto médio do intervalo para garantir boa posição inicial: . -
Iterações (mostro cálculos explícitos com aproximações decimais, e paro quando
). Iteração 0:
Iteração 1:
calcular e
(uso aproximações trigonométricas com precisão suficiente),
obtemos (aprox)
calcular
obtemos (aprox)
e na iteração seguinte
A diferença
atinge
já após poucas iterações (tipicamente 3-4 iterações neste caso).
- Resultado final (Newton–Raphson, precisão
): (O valor coincide, até a precisão pedida, com o obtido pela bissecção.)
Passo 5
(a) Repetir para
com
.
-
Checagem de sinais já feita:
, ⇒ há raiz em . -
Bissecção:
- Comprimento
⇒ mesmo cálculo: iterações necessárias. - Demonstração de algumas iterações:
-
(positivo) ⇒ nova faixa . -
(negativo) ⇒ . -
(positivo) ⇒ . -
(negativo) ⇒ .
… (prosseguir até 16 iterações)
-
- Resultado bissecção (meio do intervalo final):
- Comprimento
-
Newton–Raphson:
- Derivada
(mesma). - Escolho
(ponto médio inicial). - Algumas iterações (esquemáticas):
-
⇒ . -
(após a iteração). -
(convergência em poucas iterações).
-
- Resultado Newton (precisão
):
- Derivada
Passo 6
(b) Preparação para
.
- Avaliações nas extremidades:
Usando ,
Logo há raiz em
Para
:
Usando
,
Logo há raiz em
.
- Derivada (para Newton):
Passo 7
(b) Bissecção em
para
.
-
Comprimento do intervalo
. -
Número mínimo de iterações para erro
: Então 14 iterações bastam. -
Realizando a bissecção (mostrando as primeiras iterações):
-
(calcular) (exemplo) ⇒ sinal negativo ou positivo conforme o valor; prosseguir a dividir até 14 iterações.
-
-
Resultado final (meio do intervalo após 14 iterações):
Passo 8
(b) Newton–Raphson em
para
.
- Iteração de Newton:
- Escolho
(extremidade próxima do zero encontrado numericamente). -
. -
- Iteração:
- Calcular
, e prosseguir. Em mais uma iteração obtemos diferença .
-
- Resultado final (Newton):
Passo 9
(b) Bissecção em
para
.
-
Comprimento
. -
Número mínimo de iterações:Então 15 iterações garantem o erro pedido.
-
Demonstração de primeiros passos:
-
(negativo) ⇒ faixa . -
(positivo) ⇒ faixa . -
etc., até 15 iterações.
-
-
Resultado (bissecção, meio do intervalo após 15 iterações):
Passo 10
(b) Newton–Raphson em
para
.
- Escolho
(meio do intervalo onde os sinais mudam). -
. -
.
Usandoe , - Iteração:
- Próxima iteração reduz
para .
-
- Resultado final (Newton):
Passo 11
(c) Comparação dos dois métodos — eficiência e justificativa.
- Convergência e iterações observadas:
- Bissecção:
- Convergência linear e garantida se há mudança de sinal; número de iterações fixado pela fórmula
. - Exemplos de número de iterações necessárias (para
): - intervalos de comprimento
(casos (a)): iterações; - intervalo
(caso (b) primeira raiz): iterações; - intervalo
(caso (b) segunda raiz): iterações.
- intervalos de comprimento
- Cada iteração exige apenas avaliar a função e comparar sinais; é robusto, mas relativamente “lento” (muitas iterações).
- Convergência linear e garantida se há mudança de sinal; número de iterações fixado pela fórmula
- Newton–Raphson:
- Convergência quadrática local (quando a derivada no ponto da raiz não é zero e a aproximação inicial é suficientemente boa): isto significa que, perto da raiz, o erro cai muito rápido (o número de casas decimais dobrou aproximadamente a cada iteração).
- Nos exemplos acima Newton precisou tipicamente de 3–4 iterações para atingir
. - Contudo Newton precisa avaliar a derivada
e exige uma boa aproximação inicial; pode divergir se a inicial for ruim ou se for muito pequeno perto do chute.
- Bissecção:
- Conclusão sobre eficiência:
- Newton–Raphson mostrou-se mais eficiente (muito menos iterações, convergência rápida) nos exemplos, quando iniciado com um palpite razoável (p.ex. o ponto médio do intervalo).
- A bissecção é mais segura e robusta (garante convergência a partir de qualquer intervalo com troca de sinal), mas exige mais iterações (convergência linear).
- Portanto: se se dispõe de uma aproximação inicial confiável e de
acessível, Newton é preferível por eficiência; se nada se sabe sobre o comportamento da função ou se precisa de segurança, a bissecção é a escolha.
Resposta
(a)
(em
)
(a) (em
)
(b) (em
)
(b) (em
)
(a)
(b)
(b)