Represente na base hexadecimal os números 8,43 na base dez, (27,5)_{8} e (2,31)_{3}.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados temos. O enunciado pede: representar em base hexadecimal os três números abaixo:
  • 8,43_{10} (ou seja, o número decimal 8,43);
  • (27,5)_{8} (ou seja, o número com parte inteira 27 e parte fracionária 5 na base 8);
  • (2,31)_{3} (número escrito na base 3).
Informações relevantes que o enunciado dá (peguei diretamente dos números pedidos):
  • Primeiro número: parte inteira 8 e parte fracionária 0,43 em base 10.
  • Segundo número: parte inteira 27 e parte fracionária 5 em base 8.
  • Terceiro número: parte inteira 2 e parte fracionária 31 em base 3.
O objetivo final é dar cada representação na base hexadecimal (base 16).

Passo 2

Explicação didática do método geral (parte inteira)
  • Para converter a parte inteira de qualquer base para hexadecimal há dois caminhos práticos:
    1. Converter primeiro para decimal e depois dividir sucessivamente por 16 (método da divisão) para obter os dígitos hexadecimais do menos significativo ao mais significativo.
    2. Ou converter para binário e agrupar em blocos de 4 bits (cada bloco corresponde a um dígito hexadecimal).
  • Vou usar o caminho mais direto e elementar (converter para decimal quando necessário e depois dividir por 16), porque é fácil de executar sem truques.
Explicação didática do método geral (parte fracionária)
  • Para a parte fracionária (o que vem depois da vírgula), o método direto em base 16 é multiplicar a parte fracionária por 16 repetidas vezes. Em cada multiplicação:
    • A parte inteira do produto é o próximo dígito hexadecimal.
    • A nova parte fracionária é a parte decimal do produto, usada na multiplicação seguinte.
  • Se a parte fracionária for racional, esse processo ou termina (se a fração tiver denominador que seja potência de 2 após simplificação adequada) ou entra em um ciclo (repetição), então a representação em hex será finita ou periódica. Vou mostrar passo a passo.

Passo 3

Converter 8,43_{10} para hexadecimal — passo a passo da parte inteira
  • Parte inteira: 8. Como 8<16, o dígito hexadecimal correspondente é simplesmente 8. Logo a parte inteira em hexadecimal é 8.
Converter 8,43_{10} para hexadecimal — passo a passo da parte fracionária usando multiplicações por 16
  • Começamos com a parte fracionária \,0,43 (ou seja, 0{,}43 em decimal).
  • Regra: multiplicar por 16, anotar a parte inteira (esse é o próximo dígito hex), repetir com a parte fracionária restante.
Fazendo as multiplicações:
\begin{aligned} 0{,}43 \times 16 &= 6{,}88 &\Rightarrow&\\ \text{dígito }6,\\ \text{nova frac }0{,}88\\[4pt] 0{,}88 \times 16 &= 14{,}08 &\Rightarrow&\\ \text{dígito }14=E,\\ \text{nova frac }0{,}08\\[4pt] 0{,}08 \times 16 &= 1{,}28 &\Rightarrow&\\ \text{dígito }1,\\ \text{nova frac }0{,}28\\[4pt] 0{,}28 \times 16 &= 4{,}48 &\Rightarrow&\\ \text{dígito }4,\\ \text{nova frac }0{,}48\\[4pt] 0{,}48 \times 16 &= 7{,}68 &\Rightarrow&\\ \text{dígito }7,\\ \text{nova frac }0{,}68\\[4pt] 0{,}68 \times 16 &= 10{,}88 &\Rightarrow&\\ \text{dígito }10=A,\\ \text{nova frac }0{,}88 \end{aligned}íííííí
  • Observação importante: ao chegar em \,0{,}88 novamente (última linha) vemos que a sequência repetirá exatamente os mesmos dígitos a partir desse ponto. Isso significa que a parte fracionária em hexadecimal é periódica.
  • A sequência de dígitos obtida foi: primeiro 6, depois o bloco E,1,4,7,A que se repete.
  • Portanto a representação completa é
8{,}43_{10} = 8{,}6\overline{E147A}_{16},
onde o traço sobre E147A indica repetição periódica.
Explicação curta do porquê há repetição:
  • A parte fracionária 0{,}43 é racional ( \dfrac{43}{100}); em base 16 ela pode ter representação finita somente se, após simplificar, o denominador for potência de 2. Como 100 tem fator 5, aparece repetição em base 16. O ciclo que apareceu é consequência das restas recorrentes no algoritmo de multiplicação.]

Passo 4

Converter (27,5)_{8} para hexadecimal — parte inteira
  • Primeiro peguei a parte inteira na base 8: 27_{8}.
  • Converter 27_{8} para decimal:
27_{8} = 2\cdot 8^{1} + 7\cdot 8^{0} = 2\cdot 8 + 7 = 16 + 7 = 23_{10}.
  • Agora converto 23_{10} para hexadecimal pelo método da divisão por 16:
23 \div 16 = 1\\ \text{quociente},\\ \text{resto }7.
  • Logo 23_{10} = 17_{16} (pois 1\cdot 16 + 7 = 23).
Converter (27,5)_{8} para hexadecimal — parte fracionária
  • A parte fracionária em octal é 0{,}5_{8}. Primeiro transformo isso para decimal:
0{,}5_{8} = 5 \times 8^{-1} = \dfrac{5}{8} = 0{,}625_{10}.
  • Agora multiplicamos por 16 para obter dígitos hex:
0{,}625 \times 16 = 10{,}0 \Rightarrow \text{dígito }10 = A,\\ \text{nova frac }0{,}0.í
  • Como a nova parte fracionária é 0, o processo termina e a representação é finita.
Conclusão para este número:
(27,5)_{8} = (17,A)_{16}.

Passo 5

Análise de (2,31)_{3}
  • Regra fundamental: em base b os dígitos válidos são 0,1,\dots,b-1. Na base 3 os dígitos permitidos são apenas 0,1,2.
  • No número dado (2,31)_{3} aparece o dígito 3 na parte fracionária. O dígito 3 não é permitido na base 3 (ele é maior ou igual a 3), portanto o número está mal formado na notação apresentada.
  • Conclusão: não é possível converter (2,31)_{3} para hexadecimal enquanto o enunciado mantiver o dígito inválido 3. É preciso que o enunciado corrija esse dígito (por exemplo, se pretendiam (2,21)_{3} ou outra coisa) para que a conversão possa ser feita.

Resposta

8{,}43_{10} = 8{,}6\overline{E147A}_{16}
(27,5)_{8} = (17,A)_{16}
(2,31)_{3} não pode ser convertido: contém o dígito 3 inválido para a base 3.

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