Seja a função f(x, y)=cccx y^5x^2+y^4 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)
Ache partial fpartial x(0,0), partial fpartial y(0,0)

Passo 1

O exercício pede para calcular as derivadas parciais de f em (0,0), usando a definição de derivada parcial. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e vamos precisar do limite da diferença quociente mantendo uma das variáveis constante.

Passo 2

Para encontrar partial fpartial x(0,0), usamos a definição
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Como para y=0 vale
f(x,0)=x,0^5x^2+0=0,
temos
f(h,0)=0Longrightarrowf(h,0)-f(0,0)h=0-0h=0
Logo, partial fpartial x(0,0)=0.

Passo 3

Para encontrar partial fpartial y(0,0), usamos a definição
partial fpartial y(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h
Como para x=0 vale
f(0,y)=0,y^50+y^4=0,
temos
f(0,h)=0Longrightarrowf(0,h)-f(0,0)h=0-0h=0
Logo, partial fpartial y(0,0)=0.

Resposta

partial fpartial x(0,0)=0 e partial fpartial y(0,0)=0.

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