Seja a função f(x, y)=k x^{2}+y^{2}-4 x y. Determine os valores de k (caso existam) para os quais o ponto crítico (0,0) é:
(a) Um ponto de sela.
(b) Um ponto de máximo local.
(c) Um ponto de mínimo local.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
f(x,y)=k\,x^{2}+y^{2}-4\,x\,y
e pede para classificar o ponto crítico (0,0).
O conteúdo aqui é o teste de segunda derivada para funções de duas variáveis: vamos usar a matriz Hessiana de f e o determinante das segundas derivadas para decidir se é ponto de sela, máximo ou mínimo local.
Passo 2
Note que f não tem termos lineares em x ou y, então \nabla f(0,0)=(0,0) e (0,0) é ponto crítico para todo valor de k.
Passo 3
Calculamos as derivadas segundas para montar a Hessiana:
f_{xx}=2k,\quad f_{xy}=f_{yx}=-4,\quad f_{yy}=2.
Assim,
H = \begin{pmatrix} 2k & -4\\\\ -4 & 2 \end{pmatrix}.
Passo 4
O determinante da Hessiana é
D = \det(H) = (2k)(2)-(-4)^{2} = 4k -16 = 4\,(k-4).
Pelo teste de segunda derivada:
Se D<0, temos ponto de sela. Isso ocorre quando k-4<0, ou seja k<4.
Se D>0 e f_{xx}>0, temos mínimo local. Aqui D>0 dá k>4 e f_{xx}=2k>0 também exige k>0, mas k>4 já satisfaz isso.
Se D>0 e f_{xx}<0, seria máximo local. Mas D>0 exige k>4, incompatível com 2k<0. Logo não há k que produza máximo.
Resposta
(a) Ponto de sela se k<4.
(b) Não existe valor de k que torne (0,0) um máximo local.
(c) Mínimo local se k>4.